Isomorfismo di gruppi

[laradt]

Ciao, ho un paio di quesiti da porvi.

Ho il gruppo $ G=( ( 1 , 0 ),( a , b ) ) $ con $ b != 0 $ e $ a,b in RR $

e un suo sottogruppo normale $ N=( ( 1 , 0 ), ( a , 1 ) ) $ con $ a in RR $

1) devo dimostrare che N è isomorfo al gruppo additivo $ RR $

2) devo dimostrare che G/N è isomorfo al gruppo moltiplicativo $ RR $ \ 0 dei numeri reali non nulli.

Grazie in anticipo!!!

Lara

[Paolo902]

Ciao

Qualche idea tua? Che hai pensato di fare?

[mistake89]

Si tratta di capire dove mandare la generica matrice di $N$, tramite un'applicazione opportunamente definita e provare che $phi(ab)=phi(a)phi(b)$
Ora un po' di astuzia, quali sono i "fattori variabili" in una generica matrice di $N$? Io direi solo $a$ quindi...

EDIT Scusa paolo la sovrapposizione.

[laradt]

ok... però non so come fare... cioè devo definire un'applicazione lineare che mi rispetti la condizione di omomorfismo scritta giusto? come faccio a trovare questa applicazione?

scusate ma sono un po' carente su questi argomenti.

[laradt]

e se considerassi l'applicazione identica?

[mistake89]

Beh l' applicazione identica va da $M_2(RR)$ in $M_2(RR)$ mentre noi dobbiamo andare in $RR$.

Prova a mandare $((1,0),(a,1)) \to a$ e vedi un po'

[laradt]

ahhh....

quindi basta che mostro che
[tex]f(a+b)=f(a)+f(b)[/tex]

cioè $ f(( ( 1 , 0 ),( a + b , 1 ) ) $ = $ f(( ( 1 , 0 ),( a , 1 ) ) )$ + $ f(( ( 1 , 0 ),( b , 1 ) ) )$
che risulta $ a+b = a+b $

ora perchè sia un isomorfismo deve essere biiettivo, ma questo è semplice da mostrare.

per il punto due è analogo solo che è solo un omomorfismo moltiplicativo.

errori?

grazie!!

[mistake89]

Sicura che $N$ non sia un gruppo moltiplicativo e non additivo?
Se così fosse allora devi mostrare che $f(A*B)=f(A)+f(B)$

[laradt]

Io so solo che N è sottogruppo normale di G, ma non specifica l'operazione di G per cui deduco che è la moltiplicazione.

Io avevo considerato la somma in quanto devo dimostrare che N è isomorfo a $ RR $ additivo.
Ma come faccio a mostrare che $ ab = a+b $ ?

[laradt]

Che scema, credo di esserci arrivata..
$ f(A * B) = f(( ( 1 , 0 ),( a+b , 1 ) ) $
quindi $ f(A * B) =f(A) + f(B) $

[mistake89]

Sì, mi sembra corretto

[laradt]

grazie 1000!