Isomorfismo di estensioni

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Vorrei chiedere se quanto suppongo è corretto: se \(L/K\) è un'estensione normale (o separabile) $K$-isomorfa ad un'estensione \(L'/K\), anche \(L'/K\) è normale (rispettivamente separabile), giusto?
\(\infty\) grazie a tutti!

[Pappappero1]

$K$-isomorfa vuol dire isomorfa attraverso un'isomorfismo che vale l'identità su $K$?

In questo caso direi proprio di sì, perché normalità e separabilità sono proprietà che si verificano usando polinomi su $K$, che dunque passano indenni attraverso l'isomorfismo.

Ma azzarderei di più: se anche l'isomorfismo non è l'identità su $K$ dovrebbe valere tutto lo stesso (un po' per lo stesso motivo, visto che fattorizzazioni e radici doppie si manterrebbero attraverso l'isomorfismo).

[DavideGenova1]

\(\infty\) grazie: gentilissimo e chiarissimo come sempre!
Sì, con $K$-isomorfa intendevo quello.

Per il resto mi hai anticipato su una cosa che mi sono svegliato pensando...

"Pappappero":Ma azzarderei di più: se anche l'isomorfismo non è l'identità su $K$ dovrebbe valere tutto lo stesso (un po' per lo stesso motivo, visto che fattorizzazioni e radici doppie si manterrebbero attraverso l'isomorfismo).

Esteso il dominio dell'isomorfismo \(L'\simeq L\) e chiamato \(\sigma:L \to \bar{L'}\) l'omomorfismo indotto da tale isomorfismo semplicemente estendendo $L'$ ad una sua chiusura algebrica, ho pensato che si possa, in base ad una proposizione (la 9 qui) il cui utilizzo trovo onnipresente nella teoria di Galois, prolungare \(\sigma\) ad un omomorfismo di campi \(\sigma':\bar{L}\to \bar{L'}\) che induca quindi una biiezione tra le radici di tutti i polinomi minimi -in \(K[X]\) secondo il nome dato nel post precedente all'estensione \(L/K\)- degli elementi di ogni $\alpha\in L$ e quelle dei polinomi minimi -appartenenti a \(\sigma(K)[X]\) - di ogni \(\sigma(\alpha)\in L'\). Se così fosse, direi che ciò dimostrerebbe che anche \(L'/\sigma(K)\) è separabile se \(L/K\) lo è.
Ha qualche vaga parvenza di non essere completamente sbagliata questa riflessione?
\(\infty\) grazie ancora!!!