Isomorfismo con \(R[X][Y]/(X^2-Y^3)\)
Ciao, amici! Sto cercando di dimostrare* che il sottoanello dei polinomi \(\{\sum a_i X^i\in R[X]:a_1=0\}\) è un sottoanello di $R[X]$ isomorfo a \(R[X][Y]/(X^2-Y^3)\) dove direi che \((X^2-Y^3)\) è l'ideale appartenente all'anello $R[X][Y]$ dei polinomi in due indeterminate $X$ e $Y$ generato da $X^2-Y^3$.
Ho pensato al teorema di omomorfismo e al fatto che, se trovassi un omomorfismo suriettivo \(R[X][Y]\) con nucleo \((X^2-Y^3)\), potrei applicare quello, ma non sarei in grado di costruire tale omomorfismo...
Qualcuno ha qualche idea, in tal senso o in un altro?
$\infty$ grazie a tutti!!!
*È l'es. 8 di 2.3 del Bosch, Algebra,
Ho pensato al teorema di omomorfismo e al fatto che, se trovassi un omomorfismo suriettivo \(R[X][Y]\) con nucleo \((X^2-Y^3)\), potrei applicare quello, ma non sarei in grado di costruire tale omomorfismo...
Qualcuno ha qualche idea, in tal senso o in un altro?
$\infty$ grazie a tutti!!!
*È l'es. 8 di 2.3 del Bosch, Algebra,
Risposte
Il tuo $R$ sono i numeri reali? Perche' se $R$ e' un anello generico, non credo che i due anelli siano isomorfi. Diciamo che $R = \RR$, il campo dei numeri reali. La tua idea e' giusta. Cambiamo un po' i nomi alle cose, cosi' non si fa confusione con le indeterminate. Stiamo cercando un omomorfismo di anelli
\[
\phi: \mathbb{R} [x,y] \to \mathbb{R} [t]
\]
in modo che il kernel sia $(x^2 - y^3)$ e l'immagine sia il sottoanello di $\RR[t]$ di polinomi senza il termine di primo grado. (Ho solo cambiato la tua $x$ del codominio con una $t$, per non confonderla con la $x$ del dominio).
Ora, qual'e' il piu' facile morfismo che manda $x^2 - y^3$ in $0$? Basta riflettere un pochino per concludere che la mappa che fissa $\RR$ (d'altra parte ogni omomorfismo deve forzatamente fissare $\RR$), e manda $x$ in $t^3$ e $y$ in $t^2$ e' un ottimo candidato.
Definiamola formalmente. Dato un polinomio $f(x,y)$, definiamo $\phi (f) = f(t^3,t^2)$. A questo punto basta dimostrare che questa $\phi$ funziona. Ovviamente $x^2 - y^3$ e' un elemento del kernel, e dunque l'ideale $(x^2 - y^3)$ e' contenuto nel kernel. Bisogna fare qualche considerazione per dire che nel kernel non ci sta niente di piu'. Serve poi qualche considerazione sull'immagine.
Sapresti continuare da solo?
\[
\phi: \mathbb{R} [x,y] \to \mathbb{R} [t]
\]
in modo che il kernel sia $(x^2 - y^3)$ e l'immagine sia il sottoanello di $\RR[t]$ di polinomi senza il termine di primo grado. (Ho solo cambiato la tua $x$ del codominio con una $t$, per non confonderla con la $x$ del dominio).
Ora, qual'e' il piu' facile morfismo che manda $x^2 - y^3$ in $0$? Basta riflettere un pochino per concludere che la mappa che fissa $\RR$ (d'altra parte ogni omomorfismo deve forzatamente fissare $\RR$), e manda $x$ in $t^3$ e $y$ in $t^2$ e' un ottimo candidato.
Definiamola formalmente. Dato un polinomio $f(x,y)$, definiamo $\phi (f) = f(t^3,t^2)$. A questo punto basta dimostrare che questa $\phi$ funziona. Ovviamente $x^2 - y^3$ e' un elemento del kernel, e dunque l'ideale $(x^2 - y^3)$ e' contenuto nel kernel. Bisogna fare qualche considerazione per dire che nel kernel non ci sta niente di piu'. Serve poi qualche considerazione sull'immagine.
Sapresti continuare da solo?
Grazie di cuore, Pappappero!!! Molto interessante... \(\varphi\) ha come immagine tutto \( \{\sum a_i X^i\in R[X]:a_1=0\} \) perché direi che \(\forall n\in\mathbb{Z},n\geq 2\quad\exists (a,b)\in\mathbb{N}^2\setminus\{\mathbf{0}\}):n=2a+3b\), per cui ogni potenza $X^i$ con $i>1$ si può ottenere come prodotto $X^{2a}X^{3b}$.
Direi poi che \(\ker\varphi=(X^2-Y^3)\) perché l'unico modo in cui un polinomio \( \varphi(f)\in\{\sum a_i X^i\in R[X]:a_1=0\} \) sia quello nullo è che $f$ sia divisibile per $g(X,Y)=X^2-Y^3$: se $f=qg+r$, con $r$ in $X$ di grado minore di $2$, allora \(\varphi(f)=0\cdot\varphi(q)+\varphi(r)\) e perché sia \(\varphi(f)=\varphi(r)=0\) deve essere $r=0$, altrimenti \(\varphi(r)\) sarebbe della forma \(a(X^2)X^3+b(X^2)\) ($a$ e $b$ polinomi) non nullo.
Il mio testo non fa alcuna ipotesi su $R$, se non che sia un anello commutativo... Questo procedimento non funziona per un generico $R$?
$\infty$ grazie ancora!!!
Direi poi che \(\ker\varphi=(X^2-Y^3)\) perché l'unico modo in cui un polinomio \( \varphi(f)\in\{\sum a_i X^i\in R[X]:a_1=0\} \) sia quello nullo è che $f$ sia divisibile per $g(X,Y)=X^2-Y^3$: se $f=qg+r$, con $r$ in $X$ di grado minore di $2$, allora \(\varphi(f)=0\cdot\varphi(q)+\varphi(r)\) e perché sia \(\varphi(f)=\varphi(r)=0\) deve essere $r=0$, altrimenti \(\varphi(r)\) sarebbe della forma \(a(X^2)X^3+b(X^2)\) ($a$ e $b$ polinomi) non nullo.
Il mio testo non fa alcuna ipotesi su $R$, se non che sia un anello commutativo... Questo procedimento non funziona per un generico $R$?
$\infty$ grazie ancora!!!
Per l'immagine va bene.
Per il kernel bisogna ricordare quanto segue: l'anello dei polinomi in due indeterminate non e' un dominio euclideo, quindi non puoi fare la divisione con resto, almeno non direttamente, bisogna fare qualcosa in piu' perche' il grado come funzione norma non funziona. Ad esempio prova a dividere $x^{1000}$ per $x^2 - y^3$ e vedi che il resto viene di grado alto (e realta' non e' neanche univocamente determinato).
Si', credo che il procedimento funzioni anche con un anello commutativo qualsiasi, ma in un anello qualsiasi e' piu' difficile dimostrare che il kernel e' proprio generato da $x^2 - y^3$ (l'dea e' che su un campo puoi dimostrare che il polinomio e' irriducibile, che prende tempo ma non e' troppo difficile, ma su un anello commutativo qualsiasi credo che potrebbe non essere vero). Ci devo pensare un po'.
Per il kernel bisogna ricordare quanto segue: l'anello dei polinomi in due indeterminate non e' un dominio euclideo, quindi non puoi fare la divisione con resto, almeno non direttamente, bisogna fare qualcosa in piu' perche' il grado come funzione norma non funziona. Ad esempio prova a dividere $x^{1000}$ per $x^2 - y^3$ e vedi che il resto viene di grado alto (e realta' non e' neanche univocamente determinato).
Si', credo che il procedimento funzioni anche con un anello commutativo qualsiasi, ma in un anello qualsiasi e' piu' difficile dimostrare che il kernel e' proprio generato da $x^2 - y^3$ (l'dea e' che su un campo puoi dimostrare che il polinomio e' irriducibile, che prende tempo ma non e' troppo difficile, ma su un anello commutativo qualsiasi credo che potrebbe non essere vero). Ci devo pensare un po'.
"Pappappero":
Per il kernel bisogna ricordare quanto segue: l'anello dei polinomi in due indeterminate non e' un dominio euclideo, quindi non puoi fare la divisione con resto, almeno non direttamente, bisogna fare qualcosa in piu' perche' il grado come funzione norma non funziona. Ad esempio prova a dividere $x^{1000}$ per $x^2 - y^3$ e vedi che il resto viene di grado alto (e realta' non e' neanche univocamente determinato).
Eh, sì..."Pappappero":Ah, ecco: non avevo proprio pensato a questo perché il libro propone quest'esercizio in un capitolo precedente alla trattazione del concetto di irriducibilità e anche dei polinomi in più di un'indeterminata (si noti anche la notazione $R[X][Y]$ piuttosto che $R[X,Y]$)...
Si', credo che il procedimento funzioni anche con un anello commutativo qualsiasi, ma in un anello qualsiasi e' piu' difficile dimostrare che il kernel e' proprio generato da $x^2 - y^3$ (l'dea e' che su un campo puoi dimostrare che il polinomio e' irriducibile, che prende tempo ma non e' troppo difficile, ma su un anello commutativo qualsiasi credo che potrebbe non essere vero).
$\aleph_1$ grazie ancora!
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