Isomorfismo

[pagliagiorgia]

Un saluto al forum! dati n, m numeri naturali primi tra loro, ho un'applicazione $ f:ZZ rarr ZZ$ / $(nZZ) xx ZZ$ /$ (mZZ)$ , $x rarr (x+nZZ, x+mZZ) $ . Come posso dimostrare che è un isomorfismo da $ ZZ$/ $ (nmZZ)$ a $ ZZ$ /$ (nZZ)$ $xx$ $ZZ$ / $mZZ $ ?? Grazie anticipatamente a tutti!!

[j18eos]

Inizia a dimostrare che è un omomorfismo (tra gruppi od anelli ).

[pagliagiorgia]

tra gruppi. Devo dimostrare che $ f(a*b)-> f(a)*f(b) $. Ok ma come potrei iniziare il ragionamento?

[j18eos]

Per cominciare l'operazione interna a [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] è [tex]$+$[/tex], poi puoi porre [tex]$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_p$[/tex].
Premesso ciò: [tex]$\forall a;b\in\mathbb{Z},\,\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m\ni f(a+b)=(a+b+n\mathbb{Z};a+b+m\mathbb{Z})=\hdots$[/tex]

[pagliagiorgia]

ehm... grazie ma così non mi aiuti molto perchè praticamente mi hai riscritto proprio quello che devo dimostrare!

[j18eos]

Scusa ma non è [tex]$\forall a;b\in\mathbb{Z},\,(a+b+n\mathbb{Z};a+b+m\mathbb{Z})=(a+n\mathbb{Z};a+m\mathbb{Z})+(b+n\mathbb{Z};b+m\mathbb{Z})$[/tex], aggiunto a quello che ti ho scritto concludi. -_-

[pagliagiorgia]

$ (a+b+nZZ) + (a+b+mZZ) $ ? Scusa ma sono un po' in confusione..

[j18eos]

Leggi bene, io ho scritto [tex]$(a+b+\mathbb{Z}n;a+b+\mathbb{Z}_m)=(a+\mathbb{Z}n;a+\mathbb{Z}_m)+(b+\mathbb{Z}n;b+\mathbb{Z}_m)$[/tex]

[pagliagiorgia]

quindi da quello che hai scritto posso già concludere che vale $ f(a+b) = f(a) + f(b) $? Se la parte dell'omomorfismo è conclusa, mi mancherebbe da dimostrare che tale funzione è iniettiva e suriettiva. Come posso farlo?

[j18eos]

E certo che così puoi concludere.

Domanda d'esame: un omomorfismo tra gruppi sarebbe iniettivo se e solo se...

[pagliagiorgia]

se e solo se $ Kerf(f) = {1} $....

[j18eos]

Sì, questa è la condizione affinché un omomorfismo tra gruppi sia iniettivo.

In breve devi calcolarti il kernel di [tex]$f$[/tex]! Devi partire dalla definizione, per questo esercizio [tex]$\mathrm{Ker}f=\{

_{mn}\in\mathbb{Z}_{mn}\mid f(

_{mn})=([0]_n;[0]_m)\}$[/tex].

[pagliagiorgia]

e come faccio a dimostrare che sia proprio uguale a 1?

[j18eos]

Parti dalla definizione e te lo calcoli! Te l'ho anche scritta...