Isomorfismo

[squalllionheart]

Rega mi spigate l'isomorfismo tra $D_4/Z$ e $V$ dove $V$ è il gruppo di Klein

[vict85]

"squalllionheart":Rega mi spigate l'isomorfismo tra $D_4/Z$ e $V$ dove $V$ è il gruppo di Klein

$ZZ$!? forse intendevi $ZZ_4$ o $C_4$ (il gruppo ciclico di ordine 4)?

dato che $D_4 = C_4xC_2$ (è generato da una rotazione e un ribaltamento) $D_4//C_4 = C_2$

Ma $C_2$ non è isomorfo a $V$

$C_2 = {1, r}$
$V = C_2xC_2$

Se intendi $D_4//C_2 = C_4$

Allora non è ancora un isomorfismo...

dimostrazione:
$C_4$ è ciclico il gruppo di Klein no.

[squalllionheart]

Con $Z$ intendo il centro del gruppo $D_4$ ${e,r^2}$.
$V$=$ZZ_2XZZ_2$

Scusa per l'imprecisione....penso che la gente sia nella mia testa

[miuemia]

allora... indico con $\rho$ la rotazione e $\sigma$ la riflessione...
si ha che:
$D_4={id,rho,\rho^2,\rho^3,\sigma,\sigma\rho,\sigma\rho^2,\sigma\rho^3}$... e $Z={id,\rho^2}$

quindi si ha che $D_4/Z={{id,\rho^2},{\rho,\rho^3},{\sigma,\sigma\rho^2},{\sigma\rho,\sigma\rho^3}}$

e si osserva subito che questo gruppo è isomorfo al gruppo di Klein... in quanto ponendo:
$a={\rho,\rho^3}$
$b={\sigma,\sigma\rho^2}$
$c={\sigma\rho,\sigma\rho^3}$
si ha $a^2=b^2=c^2=id$ e $ab=c$...
ciao ciao

[squalllionheart]

ferma fenomeno le classi modulo $Z$ come le hai calcolate? Un bacio a presto.

[squalllionheart]

ok hai applicato la def. $gZ$ per qualunque elemento in $D_4$. e a due e a due coincidono.

[miuemia]

esatto....