Isomorfismi prodotto di gruppi ciclici

[broccolo99]

Ciao a tutti, ho un quesito da porre:

Indicando con Cp il gruppo ciclico di ordine p, trovare il gruppo Aut(CpXCp).

Non so proprio da dove partire, inizialmente credevo (ma soprattutto speravo) che valesse la proprietà Aut(CpXCp)=Aut(Cp)XAut(Cp). Proprietà che in realtà non vale in quanto Aut(C2XC2) è il gruppo simmetrico di ordine 3. Mi hanno consigliato di vedere Cp come il campo finito di ordine p, ma non mi ha portato a nulla.
Qualcuno ha qualche idea o qualche consiglio da darmi ?

Ringrazio in anticipo chiunque vorrà aiutarmi

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ciao, indicando con $K$ il campo con $p$ elementi, dimostra che ogni omomorfismo di gruppi additivi $K^2 to K^2$ è $K$-lineare. Cosa ne deduci?

[broccolo99]

Mi verrebbe da pensare che sto cercando gli automorfismi dello spazio vettoriale K² su K. Però se così fosse, sarebbero tutti e soli quelli che spostano gli elementi di una base (una volta fissata). Anche se non ho mai visto uno spazio vettoriale su un campo di caratteristica diversa da zero, mi verrebbe da dire che la dimensione di K² è 2 e quindi dovrei avere solo 2 automorfismi a prescindere da quale sia p. È evidente però che io stia sbagliando da qualche parte, ma non ho idea di dove.
Help me

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Se hai studiato algebra lineare, sai che un automorfismo lineare $K^n to K^n$ (dove $K$ è un campo) corrisponde (dopo la scelta di una base) a una matrice invertibile $n xx n$ con coefficienti in $K$. Quindi il gruppo degli automorfismi lineari di $K^n$ è isomorfo al gruppo delle matrici invertibili $n xx n$ a coefficienti in $K$. Questo gruppo è chiamato gruppo generale lineare e indicato con $GL(n,K)$ (general linear group, cercalo su google).

Questo significa che per ridurti a questa situazione che ho descritto sopra ti basta mostrare che ogni omomorfismo di gruppi additivi $K^n to K^n$ è $K$-lineare. Prova.

Non hai solo $2$ automorfismi, ne hai molti di più. Prova a scrivere una qualsiasi matrice invertibile $2 xx 2$ con coefficienti nel campo con $3$ elementi. Questa matrice è un automorfismo di $C_3 xx C_3$ (identificando $C_3$ col campo con $3$ elementi).

[broccolo99]

Grazie mille