Isomorfismi ed endomorfismi di gruppi
Ciao a tutti, ho una domanda più che altro teorica .
Se io ho un gruppo $G$ ed un endomorfismo $\varphi$ :$G->G$ tale che $\varphi * \varphi=\varphi$,
Il nucleo $Ker=K$ e L’immagine $Im=H$ dell’endomorfismo .
Come faccio a provare che $KnnH={1_G}$ e$G=H*K$ ?
Io farei così : considero K sottogruppo normale di G con $K=[1_G]$ e H sottogruppo di G.
Allora di conseguenza la loro intersezione é formata da 1_G : $ KnnH=1_G$
Allora per il teorema d’omomorfismo ho che $H/[1_G]~=K*H/K$
Allora $H~=K*H$
H non è altro che $\varphi(G)$ ossia $G$
Allora $G=K*H$
Non so se è esattamente corretto , voi che dite?
Se io ho un gruppo $G$ ed un endomorfismo $\varphi$ :$G->G$ tale che $\varphi * \varphi=\varphi$,
Il nucleo $Ker=K$ e L’immagine $Im=H$ dell’endomorfismo .
Come faccio a provare che $KnnH={1_G}$ e$G=H*K$ ?
Io farei così : considero K sottogruppo normale di G con $K=[1_G]$ e H sottogruppo di G.
Allora di conseguenza la loro intersezione é formata da 1_G : $ KnnH=1_G$
Allora per il teorema d’omomorfismo ho che $H/[1_G]~=K*H/K$
Allora $H~=K*H$
H non è altro che $\varphi(G)$ ossia $G$
Allora $G=K*H$
Non so se è esattamente corretto , voi che dite?
Risposte
Calma.
Vuoi dimostrare che $H nn K = 1$.
Se $phi(x) in K$ allora $phi(phi(x))=1$.
Ma per ipotesi $phi(phi(x))=phi(x)$.
Riesci a continuare?
--
Adesso vuoi dimostrare che $HK=G$.
prendi $g in G$. Vuoi trovare $h in H$ e $k in H$ tali che $hk=g$.
Prova a prendere $h=phi(g)$.
Riesci a continuare?
Vuoi dimostrare che $H nn K = 1$.
Se $phi(x) in K$ allora $phi(phi(x))=1$.
Ma per ipotesi $phi(phi(x))=phi(x)$.
Riesci a continuare?
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Adesso vuoi dimostrare che $HK=G$.
prendi $g in G$. Vuoi trovare $h in H$ e $k in H$ tali che $hk=g$.
Prova a prendere $h=phi(g)$.
Riesci a continuare?
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