Isomorfismi di ordini
Ciao a tutti
non so se la domanda che faccio è adatta a questa sezione, la posto qui perchè l'ho vista come esempio in un corso di logica.
Consideriamo il linguaggio del prim'ordine \(\displaystyle {\leq} \) con una sola relazione binaria. Consideriamo le \(\displaystyle L \)-strutture \(\displaystyle \mathbb{R},\mathbb{R}\setminus\{0\},\mathbb{Q},\mathbb{Q}\setminus\{0\} \) con il simbolo \(\displaystyle \leq \) interpretato in modo ovvio. Allora \(\displaystyle \mathbb R \) e \(\displaystyle \mathbb R \setminus \{0\} \) sono elementarmente equivalenti ma non isomorfi, mentre \(\displaystyle \mathbb Q \) e \(\displaystyle \mathbb Q \setminus \{0\} \) sono isomorfi.
Mi interessa dimostrare la parte relativa agli isomorfismi. Nel primo caso, ho dimostrato che non può esistere una funzione biunivoca strettamente crescente (un isomorfismo di ordini) da \(\displaystyle \mathbb R \) a \(\displaystyle \mathbb R \setminus \{0\} \): ho considerato un intervallo nel quale la funzione cambia segno, e con il metodo di bisezione ho ottenuto una successione infinita di intervalli di lunghezza via via dimezzata, nei quali la funzione cambia segno: dato che la lunghezza dell'intervallo tende a 0, gli estremi tendono ad un elemento \(\displaystyle c \) , e in tale \(\displaystyle c \) la funzione non è positiva nè negativa (assurdo). Nel caso razionale questo procedimento chiaramente non funziona, perchè non è detto che una successione convergente di razionali converga ad un razionale. Tuttavia, non riesco a dimostrare che l'isomorfismo esiste.
In parole povere, la domanda è: come dimostro che esiste una funzione biunivoca e strettamente crescente da \(\displaystyle \mathbb Q \) a \(\displaystyle \mathbb Q \setminus \{0\} \)?
Grazie a tutti
non so se la domanda che faccio è adatta a questa sezione, la posto qui perchè l'ho vista come esempio in un corso di logica.
Consideriamo il linguaggio del prim'ordine \(\displaystyle {\leq} \) con una sola relazione binaria. Consideriamo le \(\displaystyle L \)-strutture \(\displaystyle \mathbb{R},\mathbb{R}\setminus\{0\},\mathbb{Q},\mathbb{Q}\setminus\{0\} \) con il simbolo \(\displaystyle \leq \) interpretato in modo ovvio. Allora \(\displaystyle \mathbb R \) e \(\displaystyle \mathbb R \setminus \{0\} \) sono elementarmente equivalenti ma non isomorfi, mentre \(\displaystyle \mathbb Q \) e \(\displaystyle \mathbb Q \setminus \{0\} \) sono isomorfi.
Mi interessa dimostrare la parte relativa agli isomorfismi. Nel primo caso, ho dimostrato che non può esistere una funzione biunivoca strettamente crescente (un isomorfismo di ordini) da \(\displaystyle \mathbb R \) a \(\displaystyle \mathbb R \setminus \{0\} \): ho considerato un intervallo nel quale la funzione cambia segno, e con il metodo di bisezione ho ottenuto una successione infinita di intervalli di lunghezza via via dimezzata, nei quali la funzione cambia segno: dato che la lunghezza dell'intervallo tende a 0, gli estremi tendono ad un elemento \(\displaystyle c \) , e in tale \(\displaystyle c \) la funzione non è positiva nè negativa (assurdo). Nel caso razionale questo procedimento chiaramente non funziona, perchè non è detto che una successione convergente di razionali converga ad un razionale. Tuttavia, non riesco a dimostrare che l'isomorfismo esiste.
In parole povere, la domanda è: come dimostro che esiste una funzione biunivoca e strettamente crescente da \(\displaystyle \mathbb Q \) a \(\displaystyle \mathbb Q \setminus \{0\} \)?
Grazie a tutti
Risposte
UP
La dimostrazione viene spesso fatta attraverso un metodo chiamato back-and-forth. In pratica costruisci una successione di immersioni che converge all'isomorfismo.
Lo puoi vedere qui
http://math.stackexchange.com/questions ... 4089#14089
specialmente nella risposta di Andres Caicedo. È interessante anche la dimostrazione topologica.
Lo puoi vedere qui
http://math.stackexchange.com/questions ... 4089#14089
specialmente nella risposta di Andres Caicedo. È interessante anche la dimostrazione topologica.
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