Isomorfismi con gruppi simmetrici

[melli13]

Dimostrare che per nessun $n>=3$ i gruppi $S_n$ e $A_nxZZ_2$ sono isomorfi.

Come al solito la cosa mi pare logica. Anche se hanno la stessa cardinalità i due gruppi se prendo:
-n=3
In $S_3$ ci sono 3 elementi di ordine 2, 2 elementi di ordine 3 e un elemento di ordine 1
In $A_nxZZ_2$ ci sono 2 elementi di ordine 3, 2 elementi di ordine 6, un elelemento di ordine 1 e un elemento di ordine 2
-n=4
In $S_4$ ci sono 9 elementi di ordine 2, 8 elementi di ordine 3, 6 elementi di ordine 4 e un elemento di ordine 1
In $A_nxZZ_2$ ci sono 7 elementi di ordine 2, 8 elementi di ordine 3, 8 elementi di ordine 6 e un elemento di ordine 1

E quindi gli ordini non corrsipondono...ma come posso fare una bella dimostrazione formale molto più generale e dove risulta $n>=3$?
Devo prendere $f:S_n->A_nxZZ_2$? ma poi sempre agli ordini mi devo ricondurre no..?
Grazie per l'aiuto....!!!!!

[Martino]

Osserva che il centro di [tex]A_n \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/tex] contiene un elemento di ordine 2. Cosa puoi dire sul centro di [tex]S_n[/tex]?

[melli13]

Invece il centro di $S_n$ è banale...!Grazie mille martino...