Isomorfismi anelli quoziente
Salve ragazzi,
sto facendo un esercizio e vorrei sapere se il mio approccio è corretto:
Consideriamo $A := (ZZ_p[x])/(p(x))$ e $B := (ZZ_p[x])/(g(x))$ con $p(x) = x^2 + 8$ e $g(x) = x^2 + 9$ e $p = 2,3,5,7,11$
1)Dire se questi quozienti sono campi
2)Dire se sono tra loro isomorfi (al variare di p)
3)Quale è la loro dimensione?
Per i punti uno e tre non ho problemi: nel primo caso basta vedere se i polinomi p,g sono irriducibili, nel secondo la dimensione è il grado del polinomio.
I miei dubbi sorgono nell'approccio al secondo punto. Propongo quì sotto il mio svolgimento di un caso, potreste dirmi se è corretto?
Consideriamo il caso p=3. I due polinomi sono entrambi riducibili:
$x^2 + 9 = x \cdot x$
$x^2 + 8 = (x+1)(x+2)$
Quindi entrambi i quozienti non sono campi.
Supponiamo ora esista un omomorfismo:
$\varphi : (ZZ_3[x])/(g(x)) \rightarrow (ZZ_3[x])/(p(x))$
Consideriamo ora $\varphi(x^2)$:
poichè $x^2 ~ 0$ in $(ZZ_3[x])/(g(x))$ allora
$\varphi(x)^2 = \varphi(x^2) = \varphi(0) = 0$
dove l'ultima uguaglianza vale perchè $\varphi$ è un omomorfismo.
Quindi $\varphi(x)$ deve essere divisore dello zero in $(ZZ_3[x])/(p(x))$.
Poichè in un quoziente un polinomio è divisore dello zero se e solo se l'M.C.D. tra il polinomio è il polinomio rispetto a cui quozientiamo non è un'unità e poichè $x^2 + 8 = (x+1)(x+2)$ allora
$M.C.D ( \varphi(x), p(x)) ={ ( x+2 ),( x+1 ),( x^2+8 ):}$
Si vede subito però che i primi due polinomi al quadrato non sono equivalenti allo zero e quindi neanche il loro prodotto per un qualsiasi polinomio che non sia l'altro lo è, quindi deve essere necessariamente l'ultimo l'M.C.D. e perciò:
$\varphi(x) ~ 0$ in $(ZZ_3[x])/(p(x))$
Quindi abbiamo due elementi (lo zero e x) che vengono mandati in zero, ma allora l'omomorfismo non è iniettivo e quindi non può essere un isomorfismo.
Ne segue che non può esistere un isomorfismo fra quei due quozienti.
Fila il ragionamento? Posso ripetere un ragionamento come questo ogni volta che ho una domanda tipo quella del punto due? (ovviamente magari arrivando a trovare l'esistenza di un isomorfismo)
Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto!
EDIT:
Ripensandoci magari è meglio spiegare nei dettagli questo passaggio per vedere se il mio ragionamento è giusto:
Io mi sono detto: se l'M.C.D deve essere uno di quei tre polinomi allora deve essere vera una delle tre possibilità:
$\varphi(x) = { ( (x+1) \cdot h(x) ),( (x+2) \cdot h(x) ),( x^2 +2 \cdot h(x) ):}$
Dove con h(x) indico un polinomi qualsiasi (che possiamo già considerare quozientato $x^2 + 2$) che però non sia associato a nessuno degli altri polinomi presenti nella parentesi.
A questo punto, poichè nessuna delle prime due possibilità, con h(x) polinomio generico, al quadrato è equivalente allo zero, mi sono chiesto se esiste un polinomio che elevato al quadrato è equivalente a $x+1$ o a $x+2$.
Risolvendo il sistema che ottengo calcolando il quadrato di un generico polinomio di primo grado (sto pensando già ogni polinomio quozientato) non trovo polinomi non associati a quelli che già ho che verificano questa possibilità.
Da questo deduco che necessariamente $\varphi(x)$ deve avere come M.C.D con $x^2+2$ proprio $x^2+2$, cioè deve appartenere all'ideale generato da $x^2+2$
sto facendo un esercizio e vorrei sapere se il mio approccio è corretto:
Consideriamo $A := (ZZ_p[x])/(p(x))$ e $B := (ZZ_p[x])/(g(x))$ con $p(x) = x^2 + 8$ e $g(x) = x^2 + 9$ e $p = 2,3,5,7,11$
1)Dire se questi quozienti sono campi
2)Dire se sono tra loro isomorfi (al variare di p)
3)Quale è la loro dimensione?
Per i punti uno e tre non ho problemi: nel primo caso basta vedere se i polinomi p,g sono irriducibili, nel secondo la dimensione è il grado del polinomio.
I miei dubbi sorgono nell'approccio al secondo punto. Propongo quì sotto il mio svolgimento di un caso, potreste dirmi se è corretto?
Consideriamo il caso p=3. I due polinomi sono entrambi riducibili:
$x^2 + 9 = x \cdot x$
$x^2 + 8 = (x+1)(x+2)$
Quindi entrambi i quozienti non sono campi.
Supponiamo ora esista un omomorfismo:
$\varphi : (ZZ_3[x])/(g(x)) \rightarrow (ZZ_3[x])/(p(x))$
Consideriamo ora $\varphi(x^2)$:
poichè $x^2 ~ 0$ in $(ZZ_3[x])/(g(x))$ allora
$\varphi(x)^2 = \varphi(x^2) = \varphi(0) = 0$
dove l'ultima uguaglianza vale perchè $\varphi$ è un omomorfismo.
Quindi $\varphi(x)$ deve essere divisore dello zero in $(ZZ_3[x])/(p(x))$.
Poichè in un quoziente un polinomio è divisore dello zero se e solo se l'M.C.D. tra il polinomio è il polinomio rispetto a cui quozientiamo non è un'unità e poichè $x^2 + 8 = (x+1)(x+2)$ allora
$M.C.D ( \varphi(x), p(x)) ={ ( x+2 ),( x+1 ),( x^2+8 ):}$
Si vede subito però che i primi due polinomi al quadrato non sono equivalenti allo zero e quindi neanche il loro prodotto per un qualsiasi polinomio che non sia l'altro lo è, quindi deve essere necessariamente l'ultimo l'M.C.D. e perciò:
$\varphi(x) ~ 0$ in $(ZZ_3[x])/(p(x))$
Quindi abbiamo due elementi (lo zero e x) che vengono mandati in zero, ma allora l'omomorfismo non è iniettivo e quindi non può essere un isomorfismo.
Ne segue che non può esistere un isomorfismo fra quei due quozienti.
Fila il ragionamento? Posso ripetere un ragionamento come questo ogni volta che ho una domanda tipo quella del punto due? (ovviamente magari arrivando a trovare l'esistenza di un isomorfismo)
Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto!
EDIT:
Ripensandoci magari è meglio spiegare nei dettagli questo passaggio per vedere se il mio ragionamento è giusto:
Si vede subito però che i primi due polinomi al quadrato non sono equivalenti allo zero e quindi neanche il loro prodotto per un qualsiasi polinomio che non sia l'altro lo è, quindi deve essere necessariamente l'ultimo l'M.C.D.
Io mi sono detto: se l'M.C.D deve essere uno di quei tre polinomi allora deve essere vera una delle tre possibilità:
$\varphi(x) = { ( (x+1) \cdot h(x) ),( (x+2) \cdot h(x) ),( x^2 +2 \cdot h(x) ):}$
Dove con h(x) indico un polinomi qualsiasi (che possiamo già considerare quozientato $x^2 + 2$) che però non sia associato a nessuno degli altri polinomi presenti nella parentesi.
A questo punto, poichè nessuna delle prime due possibilità, con h(x) polinomio generico, al quadrato è equivalente allo zero, mi sono chiesto se esiste un polinomio che elevato al quadrato è equivalente a $x+1$ o a $x+2$.
Risolvendo il sistema che ottengo calcolando il quadrato di un generico polinomio di primo grado (sto pensando già ogni polinomio quozientato) non trovo polinomi non associati a quelli che già ho che verificano questa possibilità.
Da questo deduco che necessariamente $\varphi(x)$ deve avere come M.C.D con $x^2+2$ proprio $x^2+2$, cioè deve appartenere all'ideale generato da $x^2+2$
Risposte
Mi sembra perfetto!
In generale, per un polinomio $f$ di grado $2$, ci sono tre possibilita’
per la struttura dell’anello $R=ZZ_p[X]$/$(f)$:
1) $f$ non ha zeri in $ZZ_p$. In questo caso $f$ e’ irriducibile e $R$ e’ isomorfo
al campo finito $F_{p^2}$.
2) $f$ ha due zeri distinti in $ZZ_p$. In questo caso il Teorem cinese del resto implica
che $R$ e’ isomorfo a $ZZ_p\times ZZ_p$.
3) $f$ ha uno zero doppio. In questo caso $R$ e’ isomorfo a $ZZ_p[\varepsilon]$ con $\varepsilon^2=0$.
Gli anelli hanno sempre cardinalita’ $p^2$, ma non sono isomorfi.
Infatti, nel primo caso $R$ e’ un campo. Nel secondo caso
$R$ contiene divisori di zero, ma non contiene elementi nilpotenti non nulli.
Invece nel caso 3) l’anello $R$ contiene elementi nilpotenti non nulli.
In generale, per un polinomio $f$ di grado $2$, ci sono tre possibilita’
per la struttura dell’anello $R=ZZ_p[X]$/$(f)$:
1) $f$ non ha zeri in $ZZ_p$. In questo caso $f$ e’ irriducibile e $R$ e’ isomorfo
al campo finito $F_{p^2}$.
2) $f$ ha due zeri distinti in $ZZ_p$. In questo caso il Teorem cinese del resto implica
che $R$ e’ isomorfo a $ZZ_p\times ZZ_p$.
3) $f$ ha uno zero doppio. In questo caso $R$ e’ isomorfo a $ZZ_p[\varepsilon]$ con $\varepsilon^2=0$.
Gli anelli hanno sempre cardinalita’ $p^2$, ma non sono isomorfi.
Infatti, nel primo caso $R$ e’ un campo. Nel secondo caso
$R$ contiene divisori di zero, ma non contiene elementi nilpotenti non nulli.
Invece nel caso 3) l’anello $R$ contiene elementi nilpotenti non nulli.
ho una domanda per herr stickelberger: potresti cortesemente spiegarmi il punto 3)?
supponiamo che abbia $ ZZ_5[X] $/$ (x^2+1) $ e $ ZZ_5[X] $/$ (x^2+2x+1) $.in $ ZZ_5 $ il primo ha radici $ {2,3} $ e il secondo soltanto $ {4} $.
deduco che il primo anello è isomorfo a $ ZZ_5\times ZZ_5 $ mentre non riesco a svolgere il secondo. non mi è cioè chiara la tua scrittura
chi è epsilon?
grazie per l'aiuto.
supponiamo che abbia $ ZZ_5[X] $/$ (x^2+1) $ e $ ZZ_5[X] $/$ (x^2+2x+1) $.in $ ZZ_5 $ il primo ha radici $ {2,3} $ e il secondo soltanto $ {4} $.
deduco che il primo anello è isomorfo a $ ZZ_5\times ZZ_5 $ mentre non riesco a svolgere il secondo. non mi è cioè chiara la tua scrittura
$ ZZ_p[\varepsilon] $ con $ \varepsilon^2=0 $
chi è epsilon?
grazie per l'aiuto.
Se $f$ ha uno zero doppio, allora $f=(X-a)^2$ per qualche $a$ in $ZZ_p$.
Allora si puo’ prendere $\epsilon=X-a$. Infatti, si ha che
$\epsilon^2=(X-a)^2=f=0$ in $R=ZZ_p[X]$/$(f)$.
Allora si puo’ prendere $\epsilon=X-a$. Infatti, si ha che
$\epsilon^2=(X-a)^2=f=0$ in $R=ZZ_p[X]$/$(f)$.
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