Isomorfismi
Sia $RR^(*2)$ l'insieme ${x^(2):x in RR^(*)}$
Dimostrare che il quoziente $RR^(*)$/$RR^(*2)$ è isomorfo a $ZZ_2$.
Per dimostrare ciò vorrei utilizzare il primo teorema di isomorfismo. Ma non so quale applicazione $f:RR^(*)->ZZ_2$ prendere per far si che $ker(f)$ sia $RR^(*2)$. L'elemento neutro del codominio è 0, quindi dovrei prendere qualcosa che ugualiato a 0 mi dia un elemento di $RR$ al quadrato giusto? Avete qualche idea voi?
Grazie ancora..........
Dimostrare che il quoziente $RR^(*)$/$RR^(*2)$ è isomorfo a $ZZ_2$.
Per dimostrare ciò vorrei utilizzare il primo teorema di isomorfismo. Ma non so quale applicazione $f:RR^(*)->ZZ_2$ prendere per far si che $ker(f)$ sia $RR^(*2)$. L'elemento neutro del codominio è 0, quindi dovrei prendere qualcosa che ugualiato a 0 mi dia un elemento di $RR$ al quadrato giusto? Avete qualche idea voi?
Grazie ancora..........
Risposte
Prova [tex]f(x) = 1[/tex] se e solo se [tex]x > 0[/tex]...
Se provo $f(x)=1$ per $x>=0$ e $f(x)=0$ per $x<0$ allora $ker(f)={x<0}$ o sbaglio? E quindi non mi sarebbe utile....
Forse si avvicina di più alla soluzione $f(x)=1$ per $x<0$ e $f(x)=0$ per $x>=0$ in modo che $ker(f)={x>=0}$.
Ma anche in questo modo $ker(f)\ne{x^(2)}$.
Come posso fare..?
Forse si avvicina di più alla soluzione $f(x)=1$ per $x<0$ e $f(x)=0$ per $x>=0$ in modo che $ker(f)={x>=0}$.
Ma anche in questo modo $ker(f)\ne{x^(2)}$.
Come posso fare..?
Hai ragione, ho sbagliato (quello che ho dato io non è neppure un morfismo di gruppi).
Per semplificare la notazione, sia [tex]\mathbb Z_2 := \{-1,1\}[/tex] sotto l'operazione di moltiplicazione e sia [tex]f : \mathbb R^\times \to \mathbb Z_2[/tex] definita da [tex]f(x) = x / |x|[/tex]. Allora [tex]\ker f = \{x \in \mathbb R^\times \mid x > 0 \} = \{x^2 \mid x \in \mathbb R\}[/tex].
Per semplificare la notazione, sia [tex]\mathbb Z_2 := \{-1,1\}[/tex] sotto l'operazione di moltiplicazione e sia [tex]f : \mathbb R^\times \to \mathbb Z_2[/tex] definita da [tex]f(x) = x / |x|[/tex]. Allora [tex]\ker f = \{x \in \mathbb R^\times \mid x > 0 \} = \{x^2 \mid x \in \mathbb R\}[/tex].
Scusa non capisco come fai a dire ${x in RR^(*)| x>0} = {x^(2)|x in RR}$. Scusami ma sono alle prime armi con la teoria dei gruppi...
Oh, ma questa non è teoria dei gruppi! Credo che si possa definire come un po' di analisi elementare. Esiste un teorema che assicura che in [tex]\mathbb R[/tex] per ogni [tex]\alpha > 0[/tex] ed ogni intero non nullo [tex]n \in \mathbb N[/tex] esiste sempre uno ed un solo numero positivo [tex]\beta[/tex] tale che [tex]\beta^n = \alpha[/tex].
Nel nostro caso, sto dicendo che ogni numero reale positivo ammette una radice quadrata positiva, il che, detto sinceramente, mi sembra abbastanza ovvio intuitivamente (non che non ci sia bisogno di una giustificazione formale, però, in un contesto puramente algebrico, possiamo crederci senza troppe riserve...)
Nel nostro caso, sto dicendo che ogni numero reale positivo ammette una radice quadrata positiva, il che, detto sinceramente, mi sembra abbastanza ovvio intuitivamente (non che non ci sia bisogno di una giustificazione formale, però, in un contesto puramente algebrico, possiamo crederci senza troppe riserve...)
Si ora ho capito...grazie mille!
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