Isomorfismi
Ciao a tutti! Devo verificare un paio di isomorfismi e spero che mi sarete d'aiuto:
1) è vero che il campo di riducibilità completa di $x^3+x^2+x+1$ su $ZZ//3ZZ$ è isomorfo a $GF(27)$?
Ho pensato che, detto F il c.r.c del polinomio su $K=ZZ//3ZZ$, devo verificare che il grado [F] =3, così F risulta isomomorfo a $K^3$ e possiede 27 elementi, ed è pertanto isomomorfo a $GF(27)$. Tuttavia sono bloccata già all'inizio per trovare il c.r.c del polinomio.
2) è vero che $(ZZ_3[x])/(x^2+x+2)$ è isomorfo a $(ZZ_3[x])/(x^2+1)$?
Sono sicuramente entrambi due campi perchè sia $(x^2+x+2)$ che $(x^2+1)$ sono polinomi irriducibili in $ZZ//3ZZ$ perchè non hanno zeri. Poi non so come procedere.
1) è vero che il campo di riducibilità completa di $x^3+x^2+x+1$ su $ZZ//3ZZ$ è isomorfo a $GF(27)$?
Ho pensato che, detto F il c.r.c del polinomio su $K=ZZ//3ZZ$, devo verificare che il grado [F] =3, così F risulta isomomorfo a $K^3$ e possiede 27 elementi, ed è pertanto isomomorfo a $GF(27)$. Tuttavia sono bloccata già all'inizio per trovare il c.r.c del polinomio.
2) è vero che $(ZZ_3[x])/(x^2+x+2)$ è isomorfo a $(ZZ_3[x])/(x^2+1)$?
Sono sicuramente entrambi due campi perchè sia $(x^2+x+2)$ che $(x^2+1)$ sono polinomi irriducibili in $ZZ//3ZZ$ perchè non hanno zeri. Poi non so come procedere.
Risposte
1) Potrebbe essere utile notare [tex]x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)[/tex] con [tex]x^2+1[/tex] irriducibile su [tex]\mathbb Z_3[/tex].
2) Io farei in questo modo (sperando che sia corretto). Sia [tex]\phi[/tex] l'isomorfismo cercato. Un isomorfismo di campi è sempre tale che [tex]\phi(1)=1[/tex] così [tex]\phi(a)=a, \forall a\in\mathbb Z_3[/tex]. Potrsti notare che per definizione di isomorfismo, [tex]\phi(a^2)=(\phi(a))^2[/tex]. Nel quoziente [tex]\mathbb Z_3/(x^2+1)[/tex] hai una radice di [tex]-1[/tex] che possiamo chiamare [tex]i[/tex]. Allora: [tex]-1=\phi(i^2)=(\phi(i))^2[/tex]. Ma nell'altro campo non c'è una radice di [tex]-1[/tex].
2) Io farei in questo modo (sperando che sia corretto). Sia [tex]\phi[/tex] l'isomorfismo cercato. Un isomorfismo di campi è sempre tale che [tex]\phi(1)=1[/tex] così [tex]\phi(a)=a, \forall a\in\mathbb Z_3[/tex]. Potrsti notare che per definizione di isomorfismo, [tex]\phi(a^2)=(\phi(a))^2[/tex]. Nel quoziente [tex]\mathbb Z_3/(x^2+1)[/tex] hai una radice di [tex]-1[/tex] che possiamo chiamare [tex]i[/tex]. Allora: [tex]-1=\phi(i^2)=(\phi(i))^2[/tex]. Ma nell'altro campo non c'è una radice di [tex]-1[/tex].
bè nel primo punto sono entrambi irriducibili o no? e poi come posso continuare?
Nel primo hai che [tex]x^2+1[/tex] è irriducibile ma privo di radici. Nel campo di spezzamento devono esserci tutte le radici così devi "aggiungerle". Puoi notare che in [tex]\mathbb Z_3[x]/(x^2+1)[/tex] ci sono le sue radici.
Ho lo stesso problema, si può risolvere così (il 1°)I?
$x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)$
$x^2+1$ è irriducibile in $ZZ$/$3ZZ$
Quindi il Campo di rid. compl. del polinomio è $ZZ$/$3ZZ(i)$=$ZZ$/$3ZZ$[x]$/(x^2+1)$={0,1,2,x,x+1,2x,1+2x,2+2x,2+x}
quindi poichè ha $3^2$ elementi è isomorfo a GF($3^2$) ma non a GF($3^3$)
$x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)$
$x^2+1$ è irriducibile in $ZZ$/$3ZZ$
Quindi il Campo di rid. compl. del polinomio è $ZZ$/$3ZZ(i)$=$ZZ$/$3ZZ$[x]$/(x^2+1)$={0,1,2,x,x+1,2x,1+2x,2+2x,2+x}
quindi poichè ha $3^2$ elementi è isomorfo a GF($3^2$) ma non a GF($3^3$)
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