Isomorfismi
Salve.
E' possibile che si richieda questo?:
"dimostrare che $QQ(\sqrt3)$ non è isomorfo a $QQ(\sqrt5)$
mi spiego:
i due campi sono isomorfi rispettivamente a ${QQ[x]}/{(x^2-3)}$ e ${QQ[x]}/{(x^2-5)}$ che sono $QQ$-spazivettoriali di dimensione $2$, cioè i due campi hanno la stessa dimensione. Non posso concludere che sono isomorfi poiché essi $QQ(\sqrt3)$ e $QQ(\sqrt5)$ non sono spazi vettoriali, giusto?
E' possibile che si richieda questo?:
"dimostrare che $QQ(\sqrt3)$ non è isomorfo a $QQ(\sqrt5)$
mi spiego:
i due campi sono isomorfi rispettivamente a ${QQ[x]}/{(x^2-3)}$ e ${QQ[x]}/{(x^2-5)}$ che sono $QQ$-spazivettoriali di dimensione $2$, cioè i due campi hanno la stessa dimensione. Non posso concludere che sono isomorfi poiché essi $QQ(\sqrt3)$ e $QQ(\sqrt5)$ non sono spazi vettoriali, giusto?
Risposte
Bisogna specificare "isomorfi in che senso".
Sono certamente isomorfi come spazi vettoriali su $\mathbb{Q}$, come hai fatto notare.
Non sono pero' isomorfi come anelli. Per dimostrarlo ci sono diversi metodi. Il piu' facile e' osservare che in $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ esiste un elemento che al quadrato fa $3$ mentre in $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$ questo elemento non c'e'.
Sono certamente isomorfi come spazi vettoriali su $\mathbb{Q}$, come hai fatto notare.
Non sono pero' isomorfi come anelli. Per dimostrarlo ci sono diversi metodi. Il piu' facile e' osservare che in $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ esiste un elemento che al quadrato fa $3$ mentre in $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$ questo elemento non c'e'.
Grandissimo grazie mille 
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