Isomorfismi
Come faccio a dimostrare che due gruppi sono o non sono isomorfi? Cioè indipendentemente dai casi specifici, da cosa mi conviene cominciare?
1) Ordine dei gruppi
2) Generatori? Se sì, cosa devo verificare dei generatori e perchè?
3)....?
1) Ordine dei gruppi
2) Generatori? Se sì, cosa devo verificare dei generatori e perchè?
3)....?
Risposte
In generale è una domanda molto difficile. Solo in alcuni casi ci sono tecniche standard che funzionano.
Nel caso di gruppi finiti, chiaramente se due gruppi sono isomorfi, hanno lo stesso ordine. Perciò se l'ordine non è lo stesso, certamente i due gruppi non sono isomorfi.
Per quanto riguarda i generatori, la questione è delicata, perché in generale insiemi minimali di generatori non è detto che abbiano lo stesso ordine. Più che di generatori quindi, parlerei di elementi in genere (e del loro ordine): se in un gruppo hai un elemento di ordine $k$ e in un altro gruppo non c'è alcun elemento di ordine $k$, certamente i due gruppi non sono isomorfi.
Un altra proprietà da controllare è l'abelianità: se un gruppo è abeliano e uno non lo è, certamente non puoi trovare un isomorfismo (e in realtà in questo caso hai anche restrizioni forti sui possibili omomorfismi tra i due gruppi).
Come metodo operativo, io partirei sempre dall'ordine del gruppo: ma è chiaro che se ti si chiede di determinare se due gruppi finiti sono o non sono isomorfi, i due gruppi avranno lo stesso ordine (altrimenti l'esercizio sarebbe terribilmente banale).
Se hai qualche esempio concreto possiamo vedere un po' di tecniche standard (uso dei teoremi di Sylow, costruzione di isomorfismi).
Nel caso di gruppi finiti, chiaramente se due gruppi sono isomorfi, hanno lo stesso ordine. Perciò se l'ordine non è lo stesso, certamente i due gruppi non sono isomorfi.
Per quanto riguarda i generatori, la questione è delicata, perché in generale insiemi minimali di generatori non è detto che abbiano lo stesso ordine. Più che di generatori quindi, parlerei di elementi in genere (e del loro ordine): se in un gruppo hai un elemento di ordine $k$ e in un altro gruppo non c'è alcun elemento di ordine $k$, certamente i due gruppi non sono isomorfi.
Un altra proprietà da controllare è l'abelianità: se un gruppo è abeliano e uno non lo è, certamente non puoi trovare un isomorfismo (e in realtà in questo caso hai anche restrizioni forti sui possibili omomorfismi tra i due gruppi).
Come metodo operativo, io partirei sempre dall'ordine del gruppo: ma è chiaro che se ti si chiede di determinare se due gruppi finiti sono o non sono isomorfi, i due gruppi avranno lo stesso ordine (altrimenti l'esercizio sarebbe terribilmente banale).
Se hai qualche esempio concreto possiamo vedere un po' di tecniche standard (uso dei teoremi di Sylow, costruzione di isomorfismi).
Dimostrare che Z non è isomorfo a ZxZ!
In più, come faccio a determinare l'ordine del gruppo degli automorfismi di un dato gruppo?
Puoi dimostrare che qualsiasi due elementi di $\ZZ$ sono dipendenti, nel senso che esiste una combinazione a coefficienti interi (che equivalgono alle potenze in notazione moltiplicativa), non banale, ma nulla. Nel caso di $\ZZ \times \ZZ$ esistono elementi (hint: $(1,0)$ e $(0,1)$ ad esempio) per cui tale combinazione non puo' essere trovata.
Anche trovare l'ordine del gruppo di automorfismi di un gruppo in generale e' un problemone. Per un gruppo ciclico di ordine $n$, tale ordine e' $\phi(n)$ dove $\phi$ e' la funzione di Eulero ($\phi(n)$ e' il numero di interi piu' piccoli di $n$ che sono coprimi con $n$).
Piu' in generale la domanda e' complicata.
Anche trovare l'ordine del gruppo di automorfismi di un gruppo in generale e' un problemone. Per un gruppo ciclico di ordine $n$, tale ordine e' $\phi(n)$ dove $\phi$ e' la funzione di Eulero ($\phi(n)$ e' il numero di interi piu' piccoli di $n$ che sono coprimi con $n$).
Piu' in generale la domanda e' complicata.
Più in generale per quanto riguarda gli isomorfismi, mi basta far vedere che una "proprietà" del gruppo di partenza non valga per il gruppo di arrivo (in quanto devono essere algebricamente uguali)?
Si, a patto che sia una proprieta' che viene mantenuta attraverso gli isomorfismi. In generale, relazioni algebriche tra gli elementi sono sempre preservate. (che ne so, essere una matrice $n \times n$ non e' una proprieta' che viene preservata dagli isomorfismi)
"Pappappero":
Si, a patto che sia una proprieta' che viene mantenuta attraverso gli isomorfismi. In generale, relazioni algebriche tra gli elementi sono sempre preservate. (che ne so, essere una matrice $n \times n$ non e' una proprieta' che viene preservata dagli isomorfismi)
Ovviamente, quindi posso anche andare a studiare eventuali sottogruppi?
In che senso??? Se ti stai chiedendo se gruppi isomorfi hanno gli "stessi sottogruppi" la risposta e' si'.
Qui con stessi sottogruppi intendo che, se $G$ e $G'$ sono isomorfi, allora c'e' una biiezione dall'insieme dei sottogruppi di $G$ nell'insieme dei sottogruppi di $G'$ che manda tale che l'immagine di un sottogruppo $H$ di $G$ e' un sottogruppo $H'$ di $G'$ isomorfo ad $H$.
Qui con stessi sottogruppi intendo che, se $G$ e $G'$ sono isomorfi, allora c'e' una biiezione dall'insieme dei sottogruppi di $G$ nell'insieme dei sottogruppi di $G'$ che manda tale che l'immagine di un sottogruppo $H$ di $G$ e' un sottogruppo $H'$ di $G'$ isomorfo ad $H$.
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