Irriducibiltà in $ZZ$ $[x]$
Salve, ho un problema
nella definizione di elemento irriducibile in $ZZ$ $[x]$ si legge:
"Un polinomio $f(x)$ in $ZZ$ $[x]$\${-1,0,1}$ si dice irriducibile se $f(x)=g(x)h(x)$ implica che $g(x)$ o $h(x)$ è una costante".
Ma se considero $f(x)=3x$ esso non è irriducibile poiché lo scompongo in $3* x$ che sono irriducibili in $ZZ$ $[x]$.
Ma secondo la definizione dovrebbe essere irriducibile poiche $3$ è una costante.
Dunque?
nella definizione di elemento irriducibile in $ZZ$ $[x]$ si legge:
"Un polinomio $f(x)$ in $ZZ$ $[x]$\${-1,0,1}$ si dice irriducibile se $f(x)=g(x)h(x)$ implica che $g(x)$ o $h(x)$ è una costante".
Ma se considero $f(x)=3x$ esso non è irriducibile poiché lo scompongo in $3* x$ che sono irriducibili in $ZZ$ $[x]$.
Ma secondo la definizione dovrebbe essere irriducibile poiche $3$ è una costante.
Dunque?
Risposte
Mi sembra decisamente sbagliata la definizione quindi il tuo controesempio è giusto.
La definizione di elemento irriducibile in un anello A è:
"Dato $A$ un anello, $a\in A$ non nullo e non invertibile, allora $a$ si dice irriducibile in A se per ogni $b,c\in A$ tale che $a=bc$ si ha che $a$ è invertibile oppure $b$ è invertibile.
Nel tuo caso sarebbe:
"Un polinomio $f(x)\in\mathbb{Z}[x]\setminus{−1,0,1}$ si dice irriducibile se $f(x)=g(x)h(x)$ implica che $g(x)$ o $h(x)$ invertibili (ossia pari a -1,1)".
La definizione di elemento irriducibile in un anello A è:
"Dato $A$ un anello, $a\in A$ non nullo e non invertibile, allora $a$ si dice irriducibile in A se per ogni $b,c\in A$ tale che $a=bc$ si ha che $a$ è invertibile oppure $b$ è invertibile.
Nel tuo caso sarebbe:
"Un polinomio $f(x)\in\mathbb{Z}[x]\setminus{−1,0,1}$ si dice irriducibile se $f(x)=g(x)h(x)$ implica che $g(x)$ o $h(x)$ invertibili (ossia pari a -1,1)".
infatti è quello che pensavo anch'io tuttavia il libro da cui ho tratto tale definizione è il Di Martino
e se adesso considero $f(x)=2x^2+6x+6$ in $ZZ$ $[x]$.
Ho che $3$ non divide $2$ , e che $3$ divide $6$ e che $3^2=9$ non divide $6$.
Applico dunque Eisenstein per cui $f(x)$ è irriducibile in $ZZ$ $[x]$.
Ma $f(x)=2(x^2+3x+3)$ ed è dunque riducibile in $ZZ$ $[x]$.
La contraddizione sta nel fatto che per poter applicare Eisenstein il polinomio deve essere primitivo?
Ho che $3$ non divide $2$ , e che $3$ divide $6$ e che $3^2=9$ non divide $6$.
Applico dunque Eisenstein per cui $f(x)$ è irriducibile in $ZZ$ $[x]$.
Ma $f(x)=2(x^2+3x+3)$ ed è dunque riducibile in $ZZ$ $[x]$.
La contraddizione sta nel fatto che per poter applicare Eisenstein il polinomio deve essere primitivo?
Il polinomio da te considerato è riducibile in $\mathbb{Z}[x]$ per il motivo da te evidenziato, ossia si scompone come $f(x)=2(x^3+3x+3)$ e sia $2$ che $x^3+3x+3$ non sono invertibili in $\mathbb{Z}[x]$.
Eisenstein lo hai applicato bene ma non serve che il polinomio sia primitivo perché il criterio di Eisenstein ti da l'irriducibilità in $\mathbb{Q}[x]$. Quindi se è irriducibile in $\mathbb{Q}[x]$ è ovvio che lo sia anche in $\mathbb{Z}[x]$.
L'ipotesi "primitivo" la trovi nel criterio di "specializzazione" (non tutti lo chiamano così), il quale afferma:
Sia $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ un polinomio primitivo, $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$, e $p$ un primo che non divide $a_n$ tale che $\bar{f(x)}$ è irriducibile in $\mathbb{Z_p}[x]$. Allora $f(x)$ è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$.
Eisenstein lo hai applicato bene ma non serve che il polinomio sia primitivo perché il criterio di Eisenstein ti da l'irriducibilità in $\mathbb{Q}[x]$. Quindi se è irriducibile in $\mathbb{Q}[x]$ è ovvio che lo sia anche in $\mathbb{Z}[x]$.
L'ipotesi "primitivo" la trovi nel criterio di "specializzazione" (non tutti lo chiamano così), il quale afferma:
Sia $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ un polinomio primitivo, $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$, e $p$ un primo che non divide $a_n$ tale che $\bar{f(x)}$ è irriducibile in $\mathbb{Z_p}[x]$. Allora $f(x)$ è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$.
"Davi90":
Quindi se è irriducibile in $\mathbb{Q}[x]$ è ovvio che lo sia anche in $\mathbb{Z}[x]$.
Non credo sia corretto poiché se consideri $f(x)=2x$ esso è irriducibile in $QQ$ $[x]$ ma in $ZZ$ $[x]$ si fattorizza come $2*x$.
Si scusa hai ragione!...Lo avevamo appena finito di dire xD.
I criteri che ti ho scritto però sono corretti.
Si direi che se aggiungi l'ipotesi che il polinomio sia primitivo il criterio di Eisenstein ti da l'irriducibilità in $\mathbb{Z}[x]$.
Io lo conoscevo per $\mathbb{Q}[x]$ ma direi che basta aggiungere quell'ipotesi.
I criteri che ti ho scritto però sono corretti.
Si direi che se aggiungi l'ipotesi che il polinomio sia primitivo il criterio di Eisenstein ti da l'irriducibilità in $\mathbb{Z}[x]$.
Io lo conoscevo per $\mathbb{Q}[x]$ ma direi che basta aggiungere quell'ipotesi.
Allora forse ci sono:
se ho un polinomio $f(x)\in$ $QQ$ $[x]$, considero il polinomio $h(x)=m/Mf(x)$:
dove $m$ è il minimo comune multiplo fra i denominatori dei coefficienti di $f(x)$ e $M$ il massimo comune divisore fra i coefficienti così ottenuti.
questo è primitivo e a coefficienti in $ZZ$.
Ho che $f(x)$ è irriducibile in $QQ$ $[x]$ $se e solo se$ $h(x)$ è irriducibile in $QQ$ $[x]$.
Dunque applico Eisenstein ad $h(x)$ (se posso) e mi dice che $h(x)$ è irriducibile in $ZZ$ $[x]$, essendo primitivo $h(x)$ è irriducibile anche in $QQ$ $[x]$ e per l'osservazione di prima allora $f(x)$ è irriducibile in $QQ$ $[x]$.
se ho un polinomio $f(x)\in$ $QQ$ $[x]$, considero il polinomio $h(x)=m/Mf(x)$:
dove $m$ è il minimo comune multiplo fra i denominatori dei coefficienti di $f(x)$ e $M$ il massimo comune divisore fra i coefficienti così ottenuti.
questo è primitivo e a coefficienti in $ZZ$.
Ho che $f(x)$ è irriducibile in $QQ$ $[x]$ $se e solo se$ $h(x)$ è irriducibile in $QQ$ $[x]$.
Dunque applico Eisenstein ad $h(x)$ (se posso) e mi dice che $h(x)$ è irriducibile in $ZZ$ $[x]$, essendo primitivo $h(x)$ è irriducibile anche in $QQ$ $[x]$ e per l'osservazione di prima allora $f(x)$ è irriducibile in $QQ$ $[x]$.
Si direi che va bene.
Sta volta credo di poter dire che se $h(x)$ è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$ (perché è primitivo e vale Eisenstein) lo è anche in $\mathbb{Q}[x]$ (per il lemma di Gauss). L'ipotesi "primitivo" lo usi per avere l'irriducibilità in $\mathbb{Z}[x]$ con Eisenstein mentre l'irriducibilità in $\mathbb{Q}[x]$ la hai per il lemma di Gauss
Saranno semplici ma alcune volte mi girano gli occhi con ste cose
"Gil-Gala":
...dice che $h(x)$ è irriducibile in $ZZ$ $[x]$, essendo primitivo $h(x)$ è irriducibile anche in $QQ$ $[x]$ e per l'osservazione di prima allora $f(x)$ è irriducibile in $QQ$ $[x]$.
Sta volta credo di poter dire che se $h(x)$ è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$ (perché è primitivo e vale Eisenstein) lo è anche in $\mathbb{Q}[x]$ (per il lemma di Gauss). L'ipotesi "primitivo" lo usi per avere l'irriducibilità in $\mathbb{Z}[x]$ con Eisenstein mentre l'irriducibilità in $\mathbb{Q}[x]$ la hai per il lemma di Gauss
Saranno semplici ma alcune volte mi girano gli occhi con ste cose
perfetto allora 
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