Irriducibilità su $ Z_p $ primo

[AttraversamiIlCuore]

Salve a tutti!
Ho una domanda riguardo l'irriducibilità su $Z_p$ con p primo.
Fino ad ora non ho avuto problemi fino a che ho trovato questo esercizio :

Fattorizzare in irriducibili il polinomio $x^4-x^3-7x^2+5x+10$ su $Q$, $R$, $Z_5$.

Ed è facile :
Su $Q : (x-2)(x+1)(x^2-5)$
Su $R : (x-2)(x+1)(x+sqrt(5))(x-sqrt(5))$

Su $Z_5$ viene $(x-2)(x+1)x^2$
E il mio libro da come soluzione $(x-2)(x+1)x^2$, ok per $(x-2)(x+1)$ ma $x^2$ non è riducibile su $Z_5$ in quanto 0 è una radice?!
E in generale quando lavoro su $Z_p$ il polinomio (secondo o terzo grado) è irriducibile se non ha soluzioni no?
Scusate ma questo esercizio mi ha generato un pò di dubbi...grazie per la disponibilità

[angus89]

I polinomi di primo grado sono sempre irriducibili.
In $ZZ_5$ $q(x)=x$ ha una radice, cioè 0, ma anche $p(x)=x-2$ ha una radice che è 2, così anche $r(x)=x+1$ ha -1 come radice, ma sono di primo grado, dunque irriducibili.
Dunque $(x-2)(x+1)x*x$ è la tua fattorizzazione in fattori di primo grado irridicibili, scritto meglio $(x-2)(x+1)x^2$

[AttraversamiIlCuore]

Ah ho capito... quindi ad esempio anche $2x^7$ considerato su $Z_5$ è irriducibile perchè è come se lo considerassi $2*x*x*x*x*x*x*x$ cioè 7 di primo grado, che per comodità vengono accorpate?!
Ti ringrazio ancora per la disponibilità!

[angus89]

attenzione, è solo una questione di linguaggio, hai capito, ma attento
$2*x^7$ non è irriducibile, ma è già espresso come prodotto di irriducibili

Ad esempio in $RR$ il polinomio $x^2-2x+1$ non è espresso come prodotto di polinomi irriducibili $x^2-2x+1=(x-1)^2$
ora lo è.

[Gatto891]

"AttraversamiIlCuore":Ah ho capito... quindi ad esempio anche $2x^7$ considerato su $Z_5$ è irriducibile perchè è come se lo considerassi $2*x*x*x*x*x*x*x$ cioè 7 di primo grado, che per comodità vengono accorpate?!

Aspetta, a prescindere dal fatto che il contenuto non è corretto come ti ha fatto notare Angus, facciamo un secondo chiarezza tra polinomio irriducibile e polinomio scomposto come prodotto di irriducibili che è ben diverso... un polinomio in $A[x]$ è irriducibile se $P(x) = Q(x)R(x) \rarr Q(x) \in U(A[x])$ o $R(x) \in U(A[x])$. Un polinomio è scomposto come prodotto di irriducibili se, come dice il nome, è espresso come prodotto dei suoi fattori irriducibili.

Per esempio, in $ZZ[x]$ il polinomio $P(x) = x(x+1)$ è scomposto in fattori irriducibili ma si vede bene dall'essere irriducibile lui, infatti $P(x) = x\cdot(x+1)$ e $x \notin U(ZZ[x])$ e $x+1 \notin U(ZZ[x])$.