Irriducibilità nei vari campi

[paloppa]

Salve , sto studiando l'rriducibilità nei vari insiemi C, Q , R Z dei polinomi

Vorrei capire se quello che h capito (scusate il giro di parola) è chiaro. Anche perchè questo libro non è chiarissimo.


Allora nel caso in cui ci troviamo nel campo dei numeri complessi , C , il polinomio se è di primo grado è irriducibile , atrilemnti è riducibile.

Esempio : x +3 (irriducibile) , x^4 + 2x^3 - 4x^2 + 2x -6 (riducibile perchè di grado superiore ad 1)


Nel caso del campo reali (R) , sono irriducibili i polinomi di primo grado , e di secondo grado con delta < 0,

Quindi se ho x-3 (irriducibile) mentre se ho un polinomio di secondo grado controllo se il delta è minore di zero , se lo è allora è irriducibile, mentre se ho un polinomio di grado superiore al 2, prima lo scompongo e poi mi vado calcolando i vari delta della scomposizione? se almeno uno dei due delta calcolati è minore di zero allora è irriducibile.

Ho capito bene fino a qui?

Queste sono regole standard. Mentre per Q e Z bisogna fare sempre dei calcoli per ogni polinomio che ci viene dato no?

[Davi901]

Allora in $\mathbb{C}[x]$ i polinomi irriducibili sono quelli di primo grado mentre in $\mathbb{R}[x]$ lo sono solo i polinomi di primo grado e di secondo grado con $\Delta<0$.
Quindi tutti i polinomi di grado superiore a 2 sono riducibili in entrambi i casi.

...se ho un polinomio di grado superiore al 2, prima lo scompongo e poi mi vado calcolando i vari delta della scomposizione? se almeno uno dei due delta calcolati è minore di zero allora è irriducibile.

se riesci a scomporlo allora il polinomio che hai considerato è riducibile