Irriducibilità in $Z_5[x]$
In $Z_5[x]$ , scrivere un polinomio di grado $5$ che ammetta come radici tutti gli elementi di $Z_5$ ed un polinomio di grado $5$ che ammetta come radice il solo $bar 1$.
Il polinomio $x^4-bar4$ è irriducibile in $Z_5[x]$? Ammette radici in $Z_5[x]$? Determinare la forma dei polinomi di grado $5$ in $Z_5[x]$ che sono multipli di $x^4-bar4$. Spiegare perchè questi polinomi ammettono necessariamente una radice in $Z_5[x]$.
Per i primi due righi ho risolto così:
Gli elementi di $Z_5={0,1,2,3,4}$
$(x)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$
mentre un polinomio che accetti come radice il solo $bar1$ dovrebbe essere il seguente:
$(x-1)(x-6)(x-11)(x-16)(x-21)$
Qualcuno può aiutarmi a svolgere il continuo dell'esercizio
Il polinomio $x^4-bar4$ è irriducibile in $Z_5[x]$? Ammette radici in $Z_5[x]$? Determinare la forma dei polinomi di grado $5$ in $Z_5[x]$ che sono multipli di $x^4-bar4$. Spiegare perchè questi polinomi ammettono necessariamente una radice in $Z_5[x]$.
Per i primi due righi ho risolto così:
Gli elementi di $Z_5={0,1,2,3,4}$
$(x)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$
mentre un polinomio che accetti come radice il solo $bar1$ dovrebbe essere il seguente:
$(x-1)(x-6)(x-11)(x-16)(x-21)$
Qualcuno può aiutarmi a svolgere il continuo dell'esercizio
Risposte
Il secondo secondo me non è corretto! Perchè non prendi $(x-1)^5$? O più semplicemente $x^5-1$?
scusami perchè come ho scritto io non va bene? Dopotutto $-1, -6, -11, -16 e -21$ in $Z_5[x]$ sono tutti uguali a $1$
Scusami ma tu quando parli di $-1$ intendi le classi? La classe di meno uno è quella di quattro!,che è diversa da quella di uno!
Scusami se avessi scritto:
$(x-6)(x-11)(x-16)(x-21)(x-26)$
$x=6$ in $Z_5$ è $1$ e la stessa cosa per gli altri, così andrebbe bene?
$(x-6)(x-11)(x-16)(x-21)(x-26)$
$x=6$ in $Z_5$ è $1$ e la stessa cosa per gli altri, così andrebbe bene?
Si! Ma per una pura formalità io farei come ti ho detto io! 
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