Irriducibilità in $ \mathbb{Q}[x] $

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mauri54

4 lug 2018, 13:25

Ciao a tutti,
Ho bisogno di un piccolo aiuto. Ho un esercizio che dice: sia $K=\mathbb{Q}$, $ p(x)=x^5+ax^3+bx^2+3\in K[x]$ , determinare $a,b$ in modo che $ p(x) $ sia irriducibile in $K[x]$.

Il criterio di Eisenstein non funziona perché dovrei trovare un primo p che divida tutti i coeff del polinomio tranne il termine direttivo, quindi p=3, ma p^2=9 divide il coeff noto e quindi non posso usare questo criterio.

Ho pensato che ponendo a =b=0, $ x^5+3 $ dovrebbe essere irriducibile nell'anello dei polinomi a coeff razionali. Perché se si trovano le radici complesse si scopre con un po' di conti che oltre alla radice $ x=-\sqrt[5]{3} $ ha 4 radici complesse a due a due complesse coniugate quindi non si può scomporre come prodotto di un polinomio di grado 1 con uno di grado 4, ne uno di grado 2 e uno di grado 3 perché almeno uno dei due fattori non sono in $ \mathbb{Q}[x] $

Mi chiedevo se c'è un polinomio più evidente sfruttando magari il criterio di specializzazione in $ \mathbb{Z_p}[x] $ oppure con un ragionamento meno molesto del mio. Qualcuno che ha un occhio migliore??

vi ringrazio!