Irriducibilità di un polinomio in Z3... AIUTO
Qualcuno può aiutarmi a risolvere questo esercizio?
Credo che il primo approccio sia usare il criterio di irriducibilità di eisenstein e dovrebbe risultare riducibile... anche se ho una lieve confusione su quali sono gli elementi primi di Z3... qualcuno sa dirmeli con certezza?
A questo punto ho provato a vedere se gli elementi di Z3 sono radici e nessuno lo è... quindi ho escluso che nella fattorizzazione ci siano polinomi di primo grado.. ragion per cui l'unica fattorizzazione possibile sarebbe in un polinomio di grado 2 e uno di grado 3... faccio i calcoli impostando il sistema ecc... ma arrivo ad un'ambiguità... quindi credo ci sia qualcosa di sbagliato... ma cosa??? AIUTATEMI per favore e grazie in anticipo a chiunque ci proverà!
Credo che il primo approccio sia usare il criterio di irriducibilità di eisenstein e dovrebbe risultare riducibile... anche se ho una lieve confusione su quali sono gli elementi primi di Z3... qualcuno sa dirmeli con certezza?
A questo punto ho provato a vedere se gli elementi di Z3 sono radici e nessuno lo è... quindi ho escluso che nella fattorizzazione ci siano polinomi di primo grado.. ragion per cui l'unica fattorizzazione possibile sarebbe in un polinomio di grado 2 e uno di grado 3... faccio i calcoli impostando il sistema ecc... ma arrivo ad un'ambiguità... quindi credo ci sia qualcosa di sbagliato... ma cosa??? AIUTATEMI per favore e grazie in anticipo a chiunque ci proverà!
Risposte
(l'immagine é grandicella e non si vede per intero... però salvandola sul pc si vede... scusate il disagio!)
Gli irriducibili di $ ZZ_3 $ sono gli elementi di $ ZZ_3^** $ ossia i coprimi con 3.
Il criterio di irriducibilità di Eisenstein ti dice se un polinomio è irriducibile ma non ti dice che è riducibile se esso non è applicabile.
Il criterio di irriducibilità di Eisenstein ti dice se un polinomio è irriducibile ma non ti dice che è riducibile se esso non è applicabile.
ah... e quindi??? come dovrei procedere? o.O
Abbiamo $f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+1 in ZZ_3[x]$ e vogliamo fattorizzarlo in fattori irriducibili.
O $f$ è irriducibile, o $f(x)=g(x)*h(x)$ con $g(x)$ monico irriducibile di grado $2$ e $h(x)$ monico irriducibile di grado $3$.
Domanda: quali sono i polinomi di grado $2$e $3$ a coefficienti in $ZZ_3$ che sono monici e irriducibili? Non sono tanti...
O $f$ è irriducibile, o $f(x)=g(x)*h(x)$ con $g(x)$ monico irriducibile di grado $2$ e $h(x)$ monico irriducibile di grado $3$.
Domanda: quali sono i polinomi di grado $2$e $3$ a coefficienti in $ZZ_3$ che sono monici e irriducibili? Non sono tanti...
quindi la prima parte di escludere i polinomi di grado 1 in quel modo è corretta?
Sì, è corretta. $f(0)=1$, $f(1)=2$ e $f(-1)=1$, dunque $f$ non ha radici,
o equivalentemente non è divisibile per polinomi di grado 1
o equivalentemente non è divisibile per polinomi di grado 1
di grado due sarebbero i polinomi del tipo x^2 + a x + 1 con a appartenente a Z3 e di grado 3 invece i polinomi del tipo x^3 + b x^2 + c x +1 giusto???
No. Ad esempio $x^2+x+1$ è riducibile (come radice ha $1$)
ah vero... sul monico ci sono credo... è sull'irriducibile che non arrivo 
ma mi posso riferire a qualche teorema o devo solo ragionarci?
ma mi posso riferire a qualche teorema o devo solo ragionarci?
allora... ci provo solo ragionandoci per tentativi, visto che sono pochi i tentativi da fare... eventualmente mi correggi.... di grado 2 monico e irriducibile sarebbe x^2 + 2x+1 oppure x*2+1 giusto? di grado 3 dovrebbero essere x^3 + 2 x^2 + 1 oppure x^3 + 2 x + 1 ... però sto riflettendo adesso sul fatto che nel mio plinomio di partenza il termine in x aveve coefficente 0 quindi se prendo quelle con coefficente in x uguale a zero sono apposto... cioè (x*2+1) (x^3 + 2 x^2 + 1) e facendo i conti vieneee =) ma ci si arrivava puramente per tentativi???
Se il grado di un polinomio è minore o uguale di tre, il polinomio è riducibile nel campo se e solo se ha soluzioni. Ora puoi trovare facilmente quali sono quelli irriducibili in $ ZZ_3[x] $
ok ok perfettooo =) Grazie ad entrambiii =)
Allora, i polinomi monici di grado $2$ in $ZZ_3[x]$ sono nove:
$x^2$, $x^2+1$, $x^2+2$ (di questi tre solo il secondo è irriducibile, perchè il primo ha come radice $0$ e il terzo ha $1$ )
$x^2+x$, $x^2+x+1$, $x^2+x+2$, (solo il terzo è irriducibile: il primo ha $0$ come radice, il secondo ha $1$)
$x^2+2x$, $x^2+2x+1$, $x^2+2x+2$ (solo il terzo è irriducibile)
Dunque abbiamo "solo" 3 polinomi: $x^2+1$, $x^2+x+2$ e $x^2+2x+2$
$x^2$, $x^2+1$, $x^2+2$ (di questi tre solo il secondo è irriducibile, perchè il primo ha come radice $0$ e il terzo ha $1$ )
$x^2+x$, $x^2+x+1$, $x^2+x+2$, (solo il terzo è irriducibile: il primo ha $0$ come radice, il secondo ha $1$)
$x^2+2x$, $x^2+2x+1$, $x^2+2x+2$ (solo il terzo è irriducibile)
Dunque abbiamo "solo" 3 polinomi: $x^2+1$, $x^2+x+2$ e $x^2+2x+2$
quindi significa che basta dividere per questi 3 polinomi e trovo 3 diverse fattorizzazioni in irriducibili del mio polinomio di partenza giusto?
niente ho scritto una scemenza... ho fatto tutte le verifiche del caso.. l'unica fattorizzazione è (x^2+x+2)(x^3-x+2)
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