Irriducibilità di un polinomio in due indeterminate

[DarkSepiroth]

Ciao a tutti!
Potreste suggerirmi un modo furbo di dimostrare che il polinomio [code]y^3 -x^5 \in k[x,y][\code] dove [code] k [\code] è un campo qualsiasi è irriducibile?

[mistake89]

Magari fai vedere che $K[x,y]//I$ ove $I$ è l'ideale generato dal tuo polinomio è un dominio.
E' un'idea eh, provaci un po'.

[Stickelberger]

Ecco un risultato generale.

Proposizione. Sia $k$ un campo e sia $f(X)$ un polinomio in $k[X]$ di grado $d$
e sia $g(Y)$ un polinomio in $k[Y]$ di grado $e$. Se $mcd(e,d)=1$, allora
il polinomio $f(X)-g(Y)$ e' irriducibile in $k[X,Y]$.

Corollario: il polinomio $X^5-Y^3$ di DarkSepiroth e' irriducibile.

Dimostrazione della Prop.

Primo passo: grado $1$. Se $d=1$, l'anello $k[X,Y]$/$(f(X)-g(Y))$ e' isomorfo
al dominio $k[Y]$. Questo implica che $f(X)-g(Y)$ e' primo e quindi irriducibile.

Secondo passo: nel caso generale scriviamo $Z=f(X)$. Allora $k(Z)$ e' un
sottocampo di $k(X)$ e il grado $[k(X):k(Z)]$ e' uguale al grado $d$ di $f$.

Abbiamo le seguenti inclusioni di campi

$k(Z)\subset k(X)\subset k(X,Y)$,

$k(Z)\subset k(Z,Y)\subset k(X,Y)$.

Possiamo quindi calcolare il grado $[k(X,Y):K(Z)]$ in due modi:

$[k(X,Y):K(Z)]=[k(X,Y):k(X)]\cdot [k(X):k(Z)] = [k(X,Y):k(Z,Y)]\cdot [k(Z,Y):k(Z)]$.

Abbiamo gia' visto che $[k(X):k(Z)]=d$. Per calcolare $[k(Z,Y):k(Z)]$, osserviamo
che per il primo passo il polinomio $g(Y)-Z$ e' irriduciblie in $k[Y,Z]$ e quindi -per
il Lemma di Gauss- anche in $k(Y)[Z]$. Questo implica che $[k(Z,Y):k(Z)]=e$.
I gradi $a=[k(X,Y):k(X)]$ e $b=[k(X,Y):k(Z,Y)]$ sono finiti e dunque vale

$[k(X,Y):K(Z)]=da=eb$.

Il fatto che $mcd(d,e)=1$ implica che $e$ divide $a=[k(X,Y):k(X)]$. Poiche' il polinomio
$f(X)-g(Y)$ di $k(X)[Y]$ ha grado $e$ (in $Y$), vediamo che $f(X)-g(Y)$ e' irriducibile
in $k(X)[Y]$ e quindi anche nel sottoanello $k[X,Y]$.

Fatto.