Irriducibilità di un polinomio considerandolo in $\mathbb{Z}_p[x]$

[andreaciceri96]

C'è un passaggio che vedo spesso usare che però non mi torna;
Sia $f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ un polinomio tale che $\deg\ f = 3$, grazie al lemma di Gauss so che esso è irriducibile se e solo se è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$.
Siccome è di terzo grado so anche che è irriducibile se e solo se non ha radici in $\mathbb{Z}$, quello che vedo fare spesso è prendere il polinomio $\bar f(x) \in \mathbb{Z}_p[x]$ ossia la "proiezione" (è una proiezione?) in $\mathbb{Z}_p[x]$ e dire che visto che in $\mathbb{Z}_p[x]$ è irriducibile (diventa facile mostrarlo perché basta vedere che nessun elemento di $\mathbb{Z}_p$ è radice del polinomio, e questi elementi sono finiti) allora è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$ e quindi in $\mathbb{Q}[x]$.

Probabilmente è una sciocchezza, però me la sono persa.
Grazie mille a tutti in anticipo.

[Studente Anonimo]

Immagino che si tratti di un polinomio monico (o che almeno il coefficiente di grado massimo non sia divisibile per $p$).

L'argomento è semplice: se fosse $f(X) = A(X)B(X)$ allora essendo $f(X)$ monico, senza perdita di generalità $A$ e $B$ sono monici, quindi riducendo questa uguaglianza modulo $p$ ottieni [tex]\overline{f(X)} = \overline{A(X)} \cdot \overline{B(X)}[/tex] cioè $f$ è riducibile modulo $p$.

Questo significa esattamente che se $f$ è irriducibile modulo $p$ allora è irriducibile.

[andreaciceri96]

"Martino":Immagino che si tratti di un polinomio monico (o che almeno il coefficiente di grado massimo non sia divisibile per $p$).

Ecco qua dove stava l'inghippo, mi mancava questa ipotesi. Grazie mille, sei stato velocissimo come sempre a rispondermi, tutto chiaro ora.