Irriducibilità
Siano $p$ e $q$ primi , si provi che, escluso il caso $p=2$ e $q=3$ il polinomio $x^4+qx+p=0$ è irriducibile in $Q(x)$
dimostro prima che il polinomio non sia fattorizzabile in termini lineari;
il teorema delle radici razionali ci dice che le possibili radici razionali del polinomio sono i divisori di +1,-1,p,-p, ed essendo $p$ primo le radici sono da ricercare tra +1,-1,p,-p
escluse banalmente $1$ e $p$, rimangono -1 e -p
$-1$ non è accettabile perchè $1-q+p=0$, con $p$ e $q$ primi, ammette come soluzioni solo p=2 e q=3, non accettabili per ipotesi
$-p$ comporta $p^4-pq+p=0$, cioè $p^3-q+1=0$, essendo per ipotesi $p$ diverso da zero.
quindi:
$p=(q-1)^(1/3)$, per cui $-p$ è una radice razionale del polinomio
dove sbaglio?
rimane poi da dimostrare che il polinomio non possa essere ridotto come:
$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=0$
ed uguagliando i coefficienti ottengo il sistema:
$a+c=0$
$ac+d+b=0$
$ad+cb=q$
$bd=p$
anche qui dovrei dimostrare che il sistema non ammette soluzioni, ma a me vengono
dove sbaglio?
dimostro prima che il polinomio non sia fattorizzabile in termini lineari;
il teorema delle radici razionali ci dice che le possibili radici razionali del polinomio sono i divisori di +1,-1,p,-p, ed essendo $p$ primo le radici sono da ricercare tra +1,-1,p,-p
escluse banalmente $1$ e $p$, rimangono -1 e -p
$-1$ non è accettabile perchè $1-q+p=0$, con $p$ e $q$ primi, ammette come soluzioni solo p=2 e q=3, non accettabili per ipotesi
$-p$ comporta $p^4-pq+p=0$, cioè $p^3-q+1=0$, essendo per ipotesi $p$ diverso da zero.
quindi:
$p=(q-1)^(1/3)$, per cui $-p$ è una radice razionale del polinomio
dove sbaglio?
rimane poi da dimostrare che il polinomio non possa essere ridotto come:
$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=0$
ed uguagliando i coefficienti ottengo il sistema:
$a+c=0$
$ac+d+b=0$
$ad+cb=q$
$bd=p$
anche qui dovrei dimostrare che il sistema non ammette soluzioni, ma a me vengono
dove sbaglio?
Risposte
Solo una cosa: quando si dice "Siano $p,q$ primi..." si intende che sono positivi?
Cioè ad esempio $p= -7$ non va bene?
Cioè ad esempio $p= -7$ non va bene?
Ci provo.
Supponiamo che ci sia una radice intera, i casi possibili sono; \( \displaystyle \pm1, \pm p\), esaminiamo i quattro casi:
\( x=1\) :
\(1+p+q=0 \) ovviamente impossibile.
\( x=-1\) :
\(1-q+p=0, q=p+1\) quindi \( p=2, q=3\) caso da escludere.
\( x=p\):
\( p^4+pq+p=0\) impossibile.
\( x=-p\) :
\( p^4-pq+p=0, p^3-q+1=0, q=p^3+1\)
\( q=(p+1)(p^2+p+1)\) quindi \( q=p+1\) e \( p=2,q=3\) caso escluso.
Non ci sono radici razionali.
Considerando la possible scomposizione in fattori quadratici il tuo sistema implica:
\(
[1] c=-a
\)
\(
[2] -a^2+d+b=0
\)
\(
[3] a(d-b)=q
\)
\(
[4] bd=p
\)
Dalla [4], essendo \(p\) un numero primo deve essere \( d=\pm p, b=\pm 1\)
Se \( d=p, b=1\) allora dalla [3] otteniamo:
\( a(p-1)=q\) quindi \( a=p-1\) caso escluso, oppure \( a=q, p=2\)
in questo secondo caso dalla [2] ricaviamo \(-q^2+p+1=0 \) \( p=q^2-1=(q-1)(q+1\) e ancora \( p=2, q=3\)
allo stesso modo esamini gli altri casi.
Supponiamo che ci sia una radice intera, i casi possibili sono; \( \displaystyle \pm1, \pm p\), esaminiamo i quattro casi:
\( x=1\) :
\(1+p+q=0 \) ovviamente impossibile.
\( x=-1\) :
\(1-q+p=0, q=p+1\) quindi \( p=2, q=3\) caso da escludere.
\( x=p\):
\( p^4+pq+p=0\) impossibile.
\( x=-p\) :
\( p^4-pq+p=0, p^3-q+1=0, q=p^3+1\)
\( q=(p+1)(p^2+p+1)\) quindi \( q=p+1\) e \( p=2,q=3\) caso escluso.
Non ci sono radici razionali.
Considerando la possible scomposizione in fattori quadratici il tuo sistema implica:
\(
[1] c=-a
\)
\(
[2] -a^2+d+b=0
\)
\(
[3] a(d-b)=q
\)
\(
[4] bd=p
\)
Dalla [4], essendo \(p\) un numero primo deve essere \( d=\pm p, b=\pm 1\)
Se \( d=p, b=1\) allora dalla [3] otteniamo:
\( a(p-1)=q\) quindi \( a=p-1\) caso escluso, oppure \( a=q, p=2\)
in questo secondo caso dalla [2] ricaviamo \(-q^2+p+1=0 \) \( p=q^2-1=(q-1)(q+1\) e ancora \( p=2, q=3\)
allo stesso modo esamini gli altri casi.
$q=(p+1)(p^2+p+1)$ quindi $q=p+1$ e $p=2$,$q=3$ caso escluso.
era proprio questo il primo punto su cui mi ero inceppato
scusami, ma non ho ben capito
il polinomio ammette radice $x=-p$ solo se vale $q=(p+1)(p^2+p+1)$
ma questo non è possibile perchè?
XGi8 suppongo che p,q siano da ritenersi positivi
era proprio questo il primo punto su cui mi ero inceppato
scusami, ma non ho ben capito
il polinomio ammette radice $x=-p$ solo se vale $q=(p+1)(p^2+p+1)$
ma questo non è possibile perchè?
XGi8 suppongo che p,q siano da ritenersi positivi
Sì, sono d'accordo: $p,q >0$.
Quanto alla tua domanda,
Attenzione: la scomposizione corretta è $p^3+1 = (p+1)(p^2-p+1)$.
Il fatto che $q=(p+1)(p^2-p+1)$ con $p,q$ numeri primi implica che
$p+1= 1 vv p^2-p+1=1$, cioè $p=0 vv p^2-p=0=> p=0 vv p=1$. Assurdo
Quanto alla tua domanda,
Attenzione: la scomposizione corretta è $p^3+1 = (p+1)(p^2-p+1)$.
Il fatto che $q=(p+1)(p^2-p+1)$ con $p,q$ numeri primi implica che
$p+1= 1 vv p^2-p+1=1$, cioè $p=0 vv p^2-p=0=> p=0 vv p=1$. Assurdo
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