Irriducibilità
ditemi una cosa...
come si vede che $1+x+x^2+x^3+x^4$ è irriducibile in $Z_7[x]$ ?
cioè come si vede che non abbia radici in $Z_7[x]$ l'ho capito (se ne avesse una diversa da $1$ sarebbe radice di $x^5-1$ e quindi un elemento di ordine (moltiplicativo) $5$, però non esistono elementi di tale ordine)...
ma l'irriducibilità è una cosa diversa... e provare a mano tutti i polinomi non mi sembra il caso...
come si vede che $1+x+x^2+x^3+x^4$ è irriducibile in $Z_7[x]$ ?
cioè come si vede che non abbia radici in $Z_7[x]$ l'ho capito (se ne avesse una diversa da $1$ sarebbe radice di $x^5-1$ e quindi un elemento di ordine (moltiplicativo) $5$, però non esistono elementi di tale ordine)...
ma l'irriducibilità è una cosa diversa... e provare a mano tutti i polinomi non mi sembra il caso...
Risposte
se non ha radici in $Z$7[x] vuol dire che non ha fattori lineari; quindi cerca, se esiste, una scomposizione di due polinomi di secondo grado!
si certo... grazie del suggerimento... questa via si può seguire... viene fuori un sistema in cinque equazione da rielaborare ed alla fine ci si arriva...
credo però esista un metodo più facile: non è che si può sempre fare questi sistemoni è troppo dispendioso! (quella dovrebbe essere una parte infinitesima di un esercizio)
credo però esista un metodo più facile: non è che si può sempre fare questi sistemoni è troppo dispendioso! (quella dovrebbe essere una parte infinitesima di un esercizio)
qualche altra idea?
qualcuno sa se il problema: quando il polinomio $1+x+x^2+x^3+...+x^n$ è irriducibile in $Z_p$ si può affrontare in modo non brute force? (anche solo per p piccoli)
qualcuno sa se il problema: quando il polinomio $1+x+x^2+x^3+...+x^n$ è irriducibile in $Z_p$ si può affrontare in modo non brute force? (anche solo per p piccoli)
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