Irriducibili non primi in $ZZ[sqrt(−d)]$

[Angus1956]

Mostrare che se $d > 1$ è un intero dispari allora $ZZ[sqrt(−d)]$ contiene elementi irriducibili che non sono primi.
Mi sembra che la strada sia quella di trovare un irriducibile che non è primo, per esempio in $ZZ[sqrt(−5)]$ ho che $1+\epsilon$ è irriducibile ma non primo(con $\epsilon=sqrt(−5))$ però in generale non riesco a trovarne uno, qualche consiglio?

[hydro1]

\((1+\sqrt{-d})(1-\sqrt{-d})=1+d=2\cdot\frac{1+d}{2}\).

[Angus1956]

"hydro":\((1+\sqrt{-d})(1-\sqrt{-d})=1+d=2\cdot\frac{1+d}{2}\).

Vediamo se ho capito perchè:
intanto mostro che $1+ \epsilon$ (con $ \epsilon=sqrt(−d)$) è irriducibile. Supponiamo per assurdo che non lo sia quindi $1+ \epsilon =a*b$ (con $a,binZZ[sqrt(−d)]$ non invertibili) da cui $N(1+ \epsilon) =N(a)*N(b)$ (con $N$ la norma) ovvero $d+1=k*h$ con $k,hinZZ$. Ora se uno tra $k$ o $h$ non è quadrato allora siccome $d>1$ e $k,h>1$ (poichè norme di elementi non invertibili) allora ho che $kk$ o $N(b)=z^2+dw^2>h$ (con $|y|>0$ o $|w|>0$) e quindi non esiste un tale $a$ o $b$. Se invece $k=s^2$ e $h=t^2$ (e sapendo che $k2$ allora $a$ non sarebbe intero, assurdo. Se $(1+\epsilon)|(d+1)/2$ allora esiste $a+b\epsiloninZZ[sqrt(−d)] $ tale che $(1+\epsilon)(a+b\epsilon)=(d+1)/2$ ma questo è equivalente ad $a-db+(a+b)\epsilon=(d+1)/2$ da cui verrebbe $a=1/2$ e quindi a non intero, assurdo. Quindi $1+ \epsilon$ non è primo.