Irriducibili

[delca85]

Ciao ragazzi!Sto studiando algebra e ho bisogno di una mano:come faccio a dire per quali valori di $ainZZ$ il polinomio $x^3+ax+1$ è irriducibile in $QQ_[[x]]$?Io lo faccio considerandolo nell'ambiente $ZZ_2$ con $a=2k+1, kinZZ$,poi considero $a=1+5k$ e in questo caso il polinomio è irriducibile in $ZZ_5$ ma non so come finire l'esercizio.
Un altro esercizio che non riesco a fare è questo:determinare al variare di $ainZZ$ la fattorizzazione in $QQ_[[x]]$ di $x^4+ax+1$.
Grazie per l'aiuto ragazzi!!

[miuemia]

beh per il primo punto osserva che $f$ essendo di grado $3$ chiedere che sia irriducibile vuol dire che non ammetta una fattorizzazione del tipo $f=gh$ con
grado di $g$ uguale a 1... detto questo.
le possibili radici di $f$ in $QQ$ sono del tipo $p/q$ con $q$ che divide il coeff direttivo e $p$ il termine noto. quindi in questo caso le possibili radici sono $+-1$
e allora $f(1)=2+a$
$f(-1)=-a$ e quindi i valori di $a$ per cui non è riducibile $f$ sono quelli per cui $a!=-2$ e $a!=0$...
per il secondo devi fare un ragionamento simile...
ciao ciao

[delca85]

Grande,grazie mille!Allora il secondo lo farei così: per $a=+-2$ il polinomio ha un fattore di grado 1 e uno di grado 3,che devo vedere se è a sua volta irriducibile oppure no,mentre per $a!=+-2$ ne ha due di secondo grado.
Ci siamo?

[miuemia]

d'accordo ma il caso in cui si fattoriza come due polinomi di secondo grado è più rognoso xke devi vedere per quali $a$
si ha:

$(x^4+ax+1)=(x^2+bx+c)(x^2+dx+e)$
e devi vedere un pò... sono solo conti cmq.