Irreducibilità polinomio efficace.

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C'è un modo più efficace per dimostrare che \(4x^3+120x^2+8x-12\) è irriducibile in \( \mathbb{Q}[x] \) ?
Questo è come ho fatto io
\( 4 \) è invertibile in \( \mathbb{Q} \) dunque quel polinomio è irriducibile se e solo se \( x^3 + 30 x^2 + 2x-3 \) è irriducibile. Pertanto usando il teorema di Gauss sappiamo che quel polinomio, essendo primitivo, è irriducibile in \( \mathbb{Q}[x] \) se e solo se è irriducibile in \( \mathbb{Z}[x] \). Usando il criterio di riduzione modulo 11 otteniamo il seguente polinomio:

\( x^3 + 8 x^2 + 2x + 8 \)

ora possiamo verificare alla mano che non possiede soluzioni in \( \mathbb{Z}/11 \) pertanto è irriducibile. Ma è un po' macchinoso. A voi viene in mente un modo più rapido?

[hydro1]

Le uniche radici di quel polinomio possono essere $\pm1$ e $\pm 3$...

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"hydro":Le uniche radici di quel polinomio possono essere $\pm1$ e $\pm 3$...

Di quale polinomio?
Quello in \( \mathbb{Q}[x] \)? Quello in \( \mathbb{Z}[x] \) oppure quello in \( \mathbb{Z}/11[x] \)? E perché?

Ah dici quello in \( \mathbb{Z}[x] \) perché se fosse riducibile allora avrei due possibilità
\[ (x+a)(x^2+bx+c) \]
oppure
\[ (x+a)(x+b)(x+c) \]
e dunque siccome il termine costante dev'essere uguale a \(-3 \) ho che nel primo caso \(ac=-3 \) e dunque \(a \in \{\pm1,\pm3\} \) uguale per \( abc=-3 \). Quindi se vi è una radice essa è uguale a uno di quei 4 casi.