Irrazionalita' $sqrt(2)^sqrt(2)$
$sqrt(2)^sqrt(2)$ e' un numero irrazionale o razionale? Come si puo' mostrare?
Risposte
Non ne sono certo,ma ricordo una cosa del genere "Presi $a$ e $b$ due numeri irrazionali,$a^b$ è irrazionale". Ma non ricordo la dimostrazione se e da chi è stata fatta!
Non è così.
Infatti considera $sqrt(2)^sqrt(2)$: se questo è razionale allora non vale quanto hai affermato, se invece è irrazionale lo elevi alla $sqrt(2)$ ottenendo $(sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2)=2$ che è razionale.
Infatti considera $sqrt(2)^sqrt(2)$: se questo è razionale allora non vale quanto hai affermato, se invece è irrazionale lo elevi alla $sqrt(2)$ ottenendo $(sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2)=2$ che è razionale.
Teorema di Gelfond-Schneider.
Esattamente,scusate per la poca precisione!
Per meglio capire è questo: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... -Schneider
Per meglio capire è questo: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... -Schneider
"thedarkhero":
Non è così.
Infatti considera $sqrt(2)^sqrt(2)$: se questo è razionale allora non vale quanto hai affermato, se invece è irrazionale lo elevi alla $sqrt(2)$ ottenendo $(sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2)=2$ che è razionale.
Non fà una piega,
anche se per istinto e lontani ricordi direi che un numero razionale innalzato ad uno irrazionale dà addirittura un reale trascendente e dunque irrazionale:
se trovi qualcosa del genere in bibliografia
(sospetto possa essere uno dei teoremi citati dagli altri,
ma non riesco a collegarmi tramite il link ed inoltre,a cercare l'Hersteil,
smuoverei troppa polvere da armadi e cassetti della memoria...)
ti basterà osservare che $sqrt(2)^sqrt(2)=2^(sqrt(2)/2)$..
Io per ora m'astengo dal controllare se ho ragione:
il tuo post è l'ultima pecorella ad avermi conciliato questo sonno,
un pò sballato in questo ultimo scampolo d'Estate!!!!
Saluti dal web.
anche se per istinto e lontani ricordi direi che un numero razionale innalzato ad uno irrazionale dà addirittura un reale trascendente e dunque irrazionale:
Se $a=log(3)/log(2)$ fosse razionale, allora $2^p = 3^q$ per qualche $p,q\in ZZ$ diverso da zero. Questo e' assurdo e quindi $a$ e' irrazionale. Invece $2^a=3$ e' razionale.
Controesempio pertinentissimo a quello che ho m'è scappato di scrivere:
dato che conosco la differenza tra un numero irrazionale ed un algebrico
(era questa la parola che avevo in mente,ma la dislessia da sonno m'avrà portato a scriverne solo una per assonanza..),
mi servirà in futuro per ricordare che,a scrivere la notte mentre il sonno stà per arrivare,
non ci vuol nulla a scambiare una parola con un'altra ed a far apparire sbagliata una buona pensata!
Comunque,visto che passo da questo forum per provare a ripulire un pò il mio istinto dallo spesso stato di ruggine che lo ricopre,volevo chiederti una cosa:
la tua interpretazione della contraddizione finale è che $\alpha$ avrebbe due fattorizzazioni a meno d'invertibili distinte,
oppure c'è un'ottica diversa che mi sfugge?
Se vorrai darmi una mano ad aggiunger anche una porzione infinitesimale di grado a questa visuale ancora ben lontana dai 360°,te ne sarò grato:
saluti dal web.
dato che conosco la differenza tra un numero irrazionale ed un algebrico
(era questa la parola che avevo in mente,ma la dislessia da sonno m'avrà portato a scriverne solo una per assonanza..),
mi servirà in futuro per ricordare che,a scrivere la notte mentre il sonno stà per arrivare,
non ci vuol nulla a scambiare una parola con un'altra ed a far apparire sbagliata una buona pensata!
Comunque,visto che passo da questo forum per provare a ripulire un pò il mio istinto dallo spesso stato di ruggine che lo ricopre,volevo chiederti una cosa:
la tua interpretazione della contraddizione finale è che $\alpha$ avrebbe due fattorizzazioni a meno d'invertibili distinte,
oppure c'è un'ottica diversa che mi sfugge?
Se vorrai darmi una mano ad aggiunger anche una porzione infinitesimale di grado a questa visuale ancora ben lontana dai 360°,te ne sarò grato:
saluti dal web.
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