Ipotesi del continuo
Cantor dimostra che l’insieme dei numeri razionali è numerabile e assegna primo grado di cardinalità , dimostra che l’insieme dei numeri reali non è numerabile e assegna secondo grado di cardinalità.
Ipotesi del continuo:
non esistono sottoinsiemi fra i razionali e i reali
Kurt Gödel prova che l ‘ ipotesi del continuo non può essere dimostrata come falsa.
Paul Cohen prova che l’ ipotesi del continuo non può essere dimostrata come vera.
Lemma:
Ogni numero reale può essere approssimato per eccesso e per difetto da numeri razionali.
Se conveniamo di rappresentare i reali in terne di tre elementi così composto:
1. (Numero razionale minore di R), Numero reale , (Numero razionale maggiore di R)
Questo insieme è numerabile con lo stesso procedimento usato da Cantor per l’insieme dei razionali.
Gli irrazionali sono un sottoinsieme numerabile fra i razionali e i reali e quindi l’ ipotesi del continuo è falsa.
Chi pensate che abbia ragione ?
Ipotesi del continuo:
non esistono sottoinsiemi fra i razionali e i reali
Kurt Gödel prova che l ‘ ipotesi del continuo non può essere dimostrata come falsa.
Paul Cohen prova che l’ ipotesi del continuo non può essere dimostrata come vera.
Lemma:
Ogni numero reale può essere approssimato per eccesso e per difetto da numeri razionali.
Se conveniamo di rappresentare i reali in terne di tre elementi così composto:
1. (Numero razionale minore di R), Numero reale , (Numero razionale maggiore di R)
Questo insieme è numerabile con lo stesso procedimento usato da Cantor per l’insieme dei razionali.
Gli irrazionali sono un sottoinsieme numerabile fra i razionali e i reali e quindi l’ ipotesi del continuo è falsa.
Chi pensate che abbia ragione ?
Risposte
Mi son perso qualcosa.
L'insieme delle terne di cui parli non è numerabile.
Gli irrazionali non sono numerabili.
1. (Numero razionale minore di R), Numero reale , (Numero razionale maggiore di R)
Questo insieme è numerabile con lo stesso procedimento usato da Cantor per l’insieme dei razionali.
L'insieme delle terne di cui parli non è numerabile.
Gli irrazionali sono un sottoinsieme numerabile fra i razionali e i reali
Gli irrazionali non sono numerabili.
Per ogni numero reale irrazionale r ϵ R (reale r che appartiene all’insieme dei reali) esistono due numeri (a,b)ϵQ (a e b che appartengono all’insieme dei numeri razionali) tale che valgono le proprietà:
1. a∈Q a=Minimale(r) (l’elemento a dei razionali è l’ elemento minimale del numero irrazionale r cioè è l’elemento razionale più grande ad essere minore di r )
2. b∈Q b=Massimale(r) (l’elemento b dei razionali è l’ elemento massimale del numero irrazionale r cioè è l’elemento razionale più piccolo ad essere maggiore di r )
Per definizione di numero reale irrazionale l’insieme S_r=(a,r,b) é unicamente determinato e può essere visto come estensione dei numeri irrazionali nei razionali. Dato che l’insieme degli elementi aϵQ che sono approssimazione per difetto dei numeri reali è numerabile (in quanto numerabile è l’intero insieme dei razionali Q) lo deve essere anche l’insieme dei numeri reali irrazionali r ϵ R .
1. a∈Q a=Minimale(r) (l’elemento a dei razionali è l’ elemento minimale del numero irrazionale r cioè è l’elemento razionale più grande ad essere minore di r )
2. b∈Q b=Massimale(r) (l’elemento b dei razionali è l’ elemento massimale del numero irrazionale r cioè è l’elemento razionale più piccolo ad essere maggiore di r )
Per definizione di numero reale irrazionale l’insieme S_r=(a,r,b) é unicamente determinato e può essere visto come estensione dei numeri irrazionali nei razionali. Dato che l’insieme degli elementi aϵQ che sono approssimazione per difetto dei numeri reali è numerabile (in quanto numerabile è l’intero insieme dei razionali Q) lo deve essere anche l’insieme dei numeri reali irrazionali r ϵ R .
Non è vero che per ogni $r$ in $\mathbb{R} - \mathbb{Q}$, esiste un razionale $a$ che è massimo tra tutti i razionali sotto $r$ o un razionale $b$ che è minimo tra tutti i razionali che stanno sopra.
Le proprietà 1. e 2. sono vere all’infinito
Bah...se non spieghi le tue affermazioni è dura capire che intendi.
Questo $a$ non esiste, qualunque sia l'irrazionale $r$ che prendi.
Oppure mi sfugge qualcosa in quello che dici...e allora spiegati meglio...
$a\in \mathbb{Q}, a=Minimale(r)$ (l’elemento a dei razionali è l’ elemento minimale del numero irrazionale r cioè è l’elemento razionale più grande ad essere minore di r )
Questo $a$ non esiste, qualunque sia l'irrazionale $r$ che prendi.
Oppure mi sfugge qualcosa in quello che dici...e allora spiegati meglio...
Le proprietà 1. e 2. sono vere quando si confrontano i numeri a,r,b con uno stesso numero di cifre decimali n dopo la virgola.
Difatti se il numero irrazionale troncato alla n-esima cifra decimale vale:
r= r0 , r1 r2…….. rn
Allora per a e b abbiamo:
a=r0 , r1 r2…….(rn-1)
b=r0 , r1 r2…….(rn+1)
Difatti se il numero irrazionale troncato alla n-esima cifra decimale vale:
r= r0 , r1 r2…….. rn
Allora per a e b abbiamo:
a=r0 , r1 r2…….(rn-1)
b=r0 , r1 r2…….(rn+1)
[xdom="gugo82"]Chiudo.[/xdom]
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