Involuzioni in un gruppo
Un gruppo può contenere tutte involuzioni? E in particolare in un gruppo finito al massimo quante involuzioni ci possono essere, e se il gruppo è abeliano?
Grazie
Grazie
Risposte
Intendi dire tutte involuzioni salvo l'identita', suppongo.
Certamente si', puoi avere tutte involuzioni, ad esempio il banale $C_2$, o $C_2 \times C_2$. In generale, puoi dimostrare facilmente che se $G$ e' un gruppo finito tale che $g^2=1$, $\forall g \in G$, allora e' abeliano.
Ma allora, per il teorema di classificazione dei gruppi abeliani finiti (lo conosci?), questo gruppo e' prodotto di gruppi ciclici $C_{n_1} \times ... \times C_{n_k}$, e per forza tale prodotto deve essere $C_2 \times ... \times C_2$, perche' ogni fattore $C_{n_i}$ da' luogo ad un elemento di ordine $n_i$, da cui $n_i=2$ per ogni $n_i$.
Ciao!
Certamente si', puoi avere tutte involuzioni, ad esempio il banale $C_2$, o $C_2 \times C_2$. In generale, puoi dimostrare facilmente che se $G$ e' un gruppo finito tale che $g^2=1$, $\forall g \in G$, allora e' abeliano.
Ma allora, per il teorema di classificazione dei gruppi abeliani finiti (lo conosci?), questo gruppo e' prodotto di gruppi ciclici $C_{n_1} \times ... \times C_{n_k}$, e per forza tale prodotto deve essere $C_2 \times ... \times C_2$, perche' ogni fattore $C_{n_i}$ da' luogo ad un elemento di ordine $n_i$, da cui $n_i=2$ per ogni $n_i$.
Ciao!
Un esempio di un gruppo abeliano finito con più di un involuzione?
$C_2 \times C_2$
Dovrebbe essere chiaro, da quanto ho scritto sopra.
Dovrebbe essere chiaro, da quanto ho scritto sopra.
Esercizio carino: dimostrare che in un gruppo finito $G$ con
la proprieta’ che $x^2=1$ per piu’ del 75% degli elementi $x\in G$,
si ha che $x^2=1$ per ogni $x\in G$ (e quindi che $G$ e' abeliano).
Il percentuale 75% e’ottimale, perche’ nel gruppo dihedrale $D_4$ di
cardinalita’ $8$ ci sono esattamente sei elementi $x$ con $x^2=1$.
la proprieta’ che $x^2=1$ per piu’ del 75% degli elementi $x\in G$,
si ha che $x^2=1$ per ogni $x\in G$ (e quindi che $G$ e' abeliano).
Il percentuale 75% e’ottimale, perche’ nel gruppo dihedrale $D_4$ di
cardinalita’ $8$ ci sono esattamente sei elementi $x$ con $x^2=1$.
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