Involuzioni
Scrivere le involuzioni fi $S_4$ che non sono trasposizioni
Risposte
(12)(34) e simili...
Non conosco bene il simbolismo che hai usato....
Vorresti forse dire quelle che scambiano la coppia dei primi 2 numeri con quella formata dal terzo e dal quarto?
Vorresti forse dire quelle che scambiano la coppia dei primi 2 numeri con quella formata dal terzo e dal quarto?
E quindi in totale quante sono?
Una permutazione P di $S_n$ e' detta involuzione se il prodotto con se stessa
restituisce la permutazione identica I: $P*P=P^2=I$
Si dimostra che le sole permutazioni che sono anche involuzioni sono il
prodotto di punti fissi e/o trasposizioni disgiunte (ovvero senza elementi in comune).
Pertanto le trasposizioni semplici sono sempre involuzioni mentre le involuzioni
che non si riducono ad una sola trasposizioni si ottengono accoppiando opportunamente
gli elementi di $S_n$
E' chiaro quindi che per n=2 e n=3 non si hanno involuzioni non trasposizioni mentre
per $n>=4$ sono in numero di $((n-1)(n-2)(n-3))/2$
Esempi
n=4
Si hanno (4-1)(4-2)(4-3)/2=3 involuzioni non trasposizioni e sono:
$(12)(34)=((1,2,3,4),(2,1,4,3))$
$(13)(24)=((1,2,3,4),(3,4,1,2))$
$(14)(23)=((1,2,3,4),(4,3,2,1))$
Verifichiamo, per esempio, che la prima e' una involuzione:
$ ((1,2,3,4),(2,1,4,3)) *((1,2,3,4),(2,1,4,3))=((1,2,3,4),(1,2,3,4))$
Per n=5 sono in numero di (5-1)(5-2)(5-3)/2=12 e sono:
(12)(34),(12)(35),(12)(45)
(13)(24),(13)(25),(13)(45)
(14)(23),(14)(25),(14)(35)
(23)(45),(24)(35),(25)(34)
I termini che non compaiono nelle singole involuzioni sono
quelli fissi.
karl
restituisce la permutazione identica I: $P*P=P^2=I$
Si dimostra che le sole permutazioni che sono anche involuzioni sono il
prodotto di punti fissi e/o trasposizioni disgiunte (ovvero senza elementi in comune).
Pertanto le trasposizioni semplici sono sempre involuzioni mentre le involuzioni
che non si riducono ad una sola trasposizioni si ottengono accoppiando opportunamente
gli elementi di $S_n$
E' chiaro quindi che per n=2 e n=3 non si hanno involuzioni non trasposizioni mentre
per $n>=4$ sono in numero di $((n-1)(n-2)(n-3))/2$
Esempi
n=4
Si hanno (4-1)(4-2)(4-3)/2=3 involuzioni non trasposizioni e sono:
$(12)(34)=((1,2,3,4),(2,1,4,3))$
$(13)(24)=((1,2,3,4),(3,4,1,2))$
$(14)(23)=((1,2,3,4),(4,3,2,1))$
Verifichiamo, per esempio, che la prima e' una involuzione:
$ ((1,2,3,4),(2,1,4,3)) *((1,2,3,4),(2,1,4,3))=((1,2,3,4),(1,2,3,4))$
Per n=5 sono in numero di (5-1)(5-2)(5-3)/2=12 e sono:
(12)(34),(12)(35),(12)(45)
(13)(24),(13)(25),(13)(45)
(14)(23),(14)(25),(14)(35)
(23)(45),(24)(35),(25)(34)
I termini che non compaiono nelle singole involuzioni sono
quelli fissi.
karl
Che dire..... GRAZIE MILLE!!!!!!!!!!!!
Scusa, rileggendo non ho capito una cosa:
Come mai non hai aggiunto le trasformazioni:
(15)(23)
(15)(24)
(15)(34)
?
Grazie
Come mai non hai aggiunto le trasformazioni:
(15)(23)
(15)(24)
(15)(34)
?
Grazie
Hai ragione ,occorre aggiungere anche quelle ed in tutto sono 15
e non 12.In realta' ho generalizzato male e la formula esatta e' ben diversa:
$ N=(n-1)((n-2),(2))+(n-2)((n-3),(2))+(n-3)((n-4),(2))+...+3((2),(2)) $
Nel caso di n=4 e di n=5 si ha rispettivamente:
$N=3((2),(2))=3; N=4((3),(2))+3((2),(2))=15$
karl
e non 12.In realta' ho generalizzato male e la formula esatta e' ben diversa:
$ N=(n-1)((n-2),(2))+(n-2)((n-3),(2))+(n-3)((n-4),(2))+...+3((2),(2)) $
Nel caso di n=4 e di n=5 si ha rispettivamente:
$N=3((2),(2))=3; N=4((3),(2))+3((2),(2))=15$
karl
Diciamo che non è una formula facile da tenere a mente!
Grazie di tutto
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