Inverso polinomio in un campo quoziente
Buon pomeriggio, penso di aver capito come calcolare l'inverso di un polinomio in un campo quoziente ma, quando applico quello che evidentemente non ho ancora capito perfettamente, non viene mai il risultato sperato.
Ad esempio si calcoli l'inverso di $2x+1+(x^4-1) in (Z5[x])/(x^4-1)$.
Io inizio applicando l'algoritmo euclideo tra i polinomi $x^4-1$ e $2x+1$ svolgendo quindi la divisione tra questi due polinomi.
Il primo termine del quoziente é uguale a $(x^3)/2$ che non va chiaramente bene in Z e allora trovo l'inverso di 2 in Z5 che è 3.
Ora dato che $(x^3)/2$ si può anche scrivere come $(x^3) * (2)^-1$ e sapendo che l'inverso di 2 è 3 ho che $(x^3)/2 = (x^3)*3$. Ora moltiplicando il primo termine del quoziente per il divisore ottengo il primo prodotto parziale.
Continuando con i calcoli arrivo ad un vicolo cieco in cui mi blocco senza sapere più cosa fare.
Il mio ragionamento è completamente errato?
Grazie
Ad esempio si calcoli l'inverso di $2x+1+(x^4-1) in (Z5[x])/(x^4-1)$.
Io inizio applicando l'algoritmo euclideo tra i polinomi $x^4-1$ e $2x+1$ svolgendo quindi la divisione tra questi due polinomi.
Il primo termine del quoziente é uguale a $(x^3)/2$ che non va chiaramente bene in Z e allora trovo l'inverso di 2 in Z5 che è 3.
Ora dato che $(x^3)/2$ si può anche scrivere come $(x^3) * (2)^-1$ e sapendo che l'inverso di 2 è 3 ho che $(x^3)/2 = (x^3)*3$. Ora moltiplicando il primo termine del quoziente per il divisore ottengo il primo prodotto parziale.
Continuando con i calcoli arrivo ad un vicolo cieco in cui mi blocco senza sapere più cosa fare.
Il mio ragionamento è completamente errato?
Grazie
Risposte
in un campo quoziente
$x^4 - 1$ è irriducibile in $Z_5$?
La divisione dovrebbe uscire $x^4 - 1 = (3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)(2x+1)$.
no, $x^4 -1$ non è irruducibile in $Z5$ perché f(1) = 0. A me il risultato della divisione $(x^4-1)/(2x+1)$ viene $3x^2 + x^2 + 2x + 9$ e resto -10(negativo?). Dovrei continuare applicando l'algoritmo Euclideo?
In realtà $x-1$ divide il tuo polinomio esattamente perché $1$ è radice, cerca teorema di Ruffini(o teorema del resto).
Nota che $x^4 - 1 = (x-1)(x^3 + x^2 + x + 1)$.
Nota che $x^4 - 1 = (x-1)(x^3 + x^2 + x + 1)$.
ok, ho capito. Un'altra domanda.
Se in una divisione tra polinomi in $Z7$ il resto viene negativo ad esempio -15, lo posso riscrivere come -15 mod 7?
Se in una divisione tra polinomi in $Z7$ il resto viene negativo ad esempio -15, lo posso riscrivere come -15 mod 7?
Suppongo che $-15$ sia $-15 \mod 7$ se stai facendo la divisione in $\mathbb{Z}_7$. Forse ho frainteso la domanda.
intendevo che se il resto della divisione è uguale a -15 ma io sono in $Z7$ posso scrivere resto uguale a 6 no?
Sì, puoi indicarlo con qualsiasi rappresentante, come ad esempio $6$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo