Inverso laterale

[Vegastar]

Salve! Avrei un grande dubbio: come faccio a trovare l'inverso di un laterale in un anello quoziente? Mi spiego meglio: In $ (RR[x]) / ((x^(2)+2)) $ devo trovare, se esiste l'inverso dei laterali $ x+1+ (x^(2)+2) $ e $ x^(3)+2x^(2)+ (x^(2)+2) $ . Come devo ragionare?

[Vegastar]

Io ho pensato che, dato che l'unità di un anello quoziente è I+1 (dove I è l'ideale), ho pensato che l'inverso si trovi così:
$ x+1+a^(-1)=1 $ e quindi $ a^(-1)=-x-1+1=-x $ . Quindi -x+I. E analogamente l'inverso della seconda sia $ -x^(3)-2x^(2)+1+I $ . Però non mi convince. Devo anche dimostrare che appartiene all'ideale, no? Ma come?

[Martino]

Per trovare l'inverso di un polinomio $f(x)$ modulo un polinomio $g(x)$ la prima cosa da fare è applicare l'algoritmo di Euclide per trovare $a(x)$ e $b(x)$ tali che $a(x)f(x)+b(x)g(x)=1$. A questo punto riducendo modulo $g(x)$ si vede che l'inverso di $f(x)$ mod $g(x)$ è $a(x)$ mod $g(x)$. Questo è il procedimento standard.

[Vegastar]

Ok, ho capito il procedimento. Quindi $ f(x) $ ha un inverso solo se $ f(x) $ e $ g(x) $ sono coprimi, giusto?
Ps: grazie mille, sei stato molto chiaro