Inverso di un polinomio in un anello quoziente

[Dani7CC]

Salve, come da titolo ho difficoltà nel ricavare l'inverso di un polinomio in un anello quoziente, ho esattamente 2 dubbi:
f =x^4+x^3+x+2 appartenente in Z3[X] A = Z3[X](f) e devo trovare l'inverso di a = [x^3+1] modulo f.
Ho un esempio del professore dove pone g = a (non capisco il perché) e poi scrive che a appartiene ad A (non capisco il perché) e a non appartiene a z3 e questo penso perché non è una possibile classe resto di z3 perché ha ha grado x^3.
Detto questo mi ricavo l'MCD(f,g) tutto ok è 1 quindi a è invertibile, riscrivo f nel seguente: f= g*q+r
poi sposto a sinistra l'1= f-g*Q.
Dopo questo passaggio il professore scrive a * [2x+2] = 1A e quindi l'inverso è [2x+2] ma non capisco da dove esce questo polinomio, inoltre preciso che so calcolarmi i coefficienti di Bezout per gli interi, ma se utilizzo lo stesso procedimento ovvero il procedimento dove scrivo a=(1,0),b(0,1) e poi si usa la seguente formula
a-q*b non mi trovo i coefficienti.
Sono 5 giorni che sto perdendo la testa sul come ricavare gli inversi e i primi di gennaio ho l'esame aiuto pls.

[ingres]

Guarda se qui trovi degli spunti:

https://www.matematicamente.it/forum/el ... ml#p441884

https://www.matematicamente.it/forum/an ... 65415.html

[Desirio]

"Dani7CC":Salve, come da titolo ho difficoltà nel ricavare l'inverso di un polinomio in un anello quoziente, ho esattamente 2 dubbi:
f =x^4+x^3+x+2 appartenente in Z3[X] A = Z3[X](f) e devo trovare l'inverso di a = [x^3+1] modulo f.
Ho un esempio del professore dove pone g = a (non capisco il perché) e poi scrive che a appartiene ad A (non capisco il perché) e a non appartiene a z3 e questo penso perché non è una possibile classe resto di z3 perché ha ha grado x^3.
Detto questo mi ricavo l'MCD(f,g) tutto ok è 1 quindi a è invertibile, riscrivo f nel seguente: f= g*q+r
poi sposto a sinistra l'1= f-g*Q.
Dopo questo passaggio il professore scrive a * [2x+2] = 1A e quindi l'inverso è [2x+2] ma non capisco da dove esce questo polinomio, inoltre preciso che so calcolarmi i coefficienti di Bezout per gli interi, ma se utilizzo lo stesso procedimento ovvero il procedimento dove scrivo a=(1,0),b(0,1) e poi si usa la seguente formula
a-q*b non mi trovo i coefficienti.
Sono 5 giorni che sto perdendo la testa sul come ricavare gli inversi e i primi di gennaio ho l'esame aiuto pls.

L'inverso del polinomio $x^{3} + 1 + (f)$ è un polinomio che appartiene all'anello quoziente $A$ e quindi è della forma $ax^{3} + bx^{2} + cx + d + (f)$ dove $a,b,c,d \in Z_{3}$ - perché così sono fatti tutti gli elementi di $A$ - ed è tale che $(ax^{3} + bx^{2} + cx + d + (f))(x^{3} + 1 + (f)) = 1 + (f)$.
Se fai la moltiplicazione - moltiplicazione fra classi di equivalenza modulo $f$ - ottieni a sinistra un polinomio $g$ di grado $6$ ... Riducendolo modulo $f$ - ovvero eseguendo la divisione fra polinomi, facendo quindi $g$ diviso $f$ - troverai un resto alla fine della divisione. Tale resto, di grado minore o uguale a $3$, dipenderà dai coefficienti $a,b,c,d$ e volendo che tale resto sia $1$ trovi quali valori i coefficienti $a,b,c,d \in Z_{3}$ devono assumere... Troverai proprio $a = 0, b = 0, c = d = 2$ da cui il polinomio del prof.

[Desirio]

"Dani7CC":Salve, come da titolo ho difficoltà nel ricavare l'inverso di un polinomio in un anello quoziente, ho esattamente 2 dubbi:
f =x^4+x^3+x+2 appartenente in Z3[X] A = Z3[X](f) e devo trovare l'inverso di a = [x^3+1] modulo f.
Ho un esempio del professore dove pone g = a (non capisco il perché) e poi scrive che a appartiene ad A (non capisco il perché) e a non appartiene a z3 e questo penso perché non è una possibile classe resto di z3 perché ha ha grado x^3.
Detto questo mi ricavo l'MCD(f,g) tutto ok è 1 quindi a è invertibile, riscrivo f nel seguente: f= g*q+r
poi sposto a sinistra l'1= f-g*Q.
Dopo questo passaggio il professore scrive a * [2x+2] = 1A e quindi l'inverso è [2x+2] ma non capisco da dove esce questo polinomio, inoltre preciso che so calcolarmi i coefficienti di Bezout per gli interi, ma se utilizzo lo stesso procedimento ovvero il procedimento dove scrivo a=(1,0),b(0,1) e poi si usa la seguente formula
a-q*b non mi trovo i coefficienti.
Sono 5 giorni che sto perdendo la testa sul come ricavare gli inversi e i primi di gennaio ho l'esame aiuto pls.

Se invece vuoi usare il metodo dell'MCD....
Sia $1 = (f,g)$ dove $g = x^{3} + 1 $ ....

Allora possiamo esprimere $1$ come combinazione lineare di $f$ e $g$ e si ottiene proprio $f = (x^{3} + 1)(x+1) + 1$ da cui $1 = f - (x^{3} + 1)(x+1)$ e quindi $1 + (f) \equiv - (x^{3} + 1)(x+1) + (f)$ quindi si ha che l'inverso di $x^{3} + 1$ è $-(x+1)$ ed essendo in $Z_{3}$ si ottiene proprio $2x+2$.