Inverso di un numero in Zn

[francesfarmer]

Ho due esempi e non riesco a capire nessuno dei due. O meglio, li capisco fino a un certo punto. Li metto entrambi, spero che mi possiate aiutare.

Esempio 1) Trovare l'inverso di $\bar 8$ in $Z_11$
So che il $MCD$ è $1$ perché $11$ è primo. Infatti
$11=8*1+3$
$8=3*2+2$
$3=2*1+1$

Ricavo:
$3=11-8*1$
$2=8-3*2$
$1=3-2*1$
Per trovare l'identità di Bezout faccio:
$3-(8-3*2)*1$
$3-8*1+3*2$
$3(1+2)-8*1$
$3(3)-8(1)$
$(11-8*1)(3)-8*1$
$11*3-8*3-8*1$
$11*3-8(3+1)$
$11(3)+8(-4)$
Ora c'è la parte che non capisco perché nella soluzione c'è scritto
$\bar 8 ^-1 = -\bar 4 = \bar 7 -> \bar8*\bar7=\bar56=\bar1+\bar5*\bar11=\bar1$
Quel $7$ da cosa l'ho ricavato???

Esempio 2) Trovare inverso di $100$ in $Z_1001$

Ho fatto gli stessi calcoli dell'esercizio prima e l'identità di Bezout mi è venuta
$1001(1)-100(10)$
Ora nella soluzione c'è scritto
$\bar100^-1 = -\bar10=\bar991$ è l'inverso di $100$ in $Z_1001$
Anche in questo caso non capisco come ricavare $991$

Grazie a chi mi risponderà!

[plesyo96]

$-4 -= 7 (mod 11)$ come anche $-10 -= 991 (mod 1001)$.