Inverso di un isomorfismo
nel caos mentale post-vacanze mi è balenata in testa la dimostrazione della proprietà simmetrica dell'isomorfismo...
Ho cercato un mio quaderno dove avevo queste cose e ho notato che avevo sbagliato la dimostrazione (avevo dedotto tutto DALLA TESI... roba da pazzi mi vergogno anche a dirlo).
Ho provato a buttare giù una verfica ma non mi viene. Penso sia un blocco mentale visto che è talmente semplice la cosa.
Qualcuno mi aiuta?
Saluti a tutti!
Ho cercato un mio quaderno dove avevo queste cose e ho notato che avevo sbagliato la dimostrazione (avevo dedotto tutto DALLA TESI... roba da pazzi mi vergogno anche a dirlo).
Ho provato a buttare giù una verfica ma non mi viene. Penso sia un blocco mentale visto che è talmente semplice la cosa.
Qualcuno mi aiuta?
Saluti a tutti!
Risposte
Vuoi dimostrare che c'è un isomorfismo dal codominio al dominio se e solo se c'è un isomorfismo dal dominio al codominio? (il suo inverso insomma)
voglio verificare direttamente che l'inverso di un isomorfismo è un isomorfismo.
Sai che sono bloccato anche io? Mi ricordo di averlo dimostrato... non mi ricordo come.
Eppure pare talmente banale... Mah. Devo pensarci. O ricordare il corso di algebra...
Eppure pare talmente banale... Mah. Devo pensarci. O ricordare il corso di algebra...
penso di averlo risolto...
chiamo $ f $ l'isomorfismo da $ (G,*) $ a $ (G',°) $
per definizione $ f(a*b)=f(a)°f(b) $
applico $ f^-1 $ a sinistra
$ a*b=f^-1(f(a)°f(b)) $
ma allora
$ f^-1(f(a)°f(b))=f^-1(f(a))*f^-1(f(b)) $ (perchè il secondo membro è $ a*b $)
che è quello che volevo dimostrare.
Ah, ovviamente essendo f iniettiva e suriettiva è anche invertibile, l'inversa esiste ed è anch'essa iniettiva e suriettiva (per questo l'ho potuta usare nella verifica)
Mi faccio una domanda e mi dò una risposta... il mio cervello è alle Baleari in questo momento...
chiamo $ f $ l'isomorfismo da $ (G,*) $ a $ (G',°) $
per definizione $ f(a*b)=f(a)°f(b) $
applico $ f^-1 $ a sinistra
$ a*b=f^-1(f(a)°f(b)) $
ma allora
$ f^-1(f(a)°f(b))=f^-1(f(a))*f^-1(f(b)) $ (perchè il secondo membro è $ a*b $)
che è quello che volevo dimostrare.
Ah, ovviamente essendo f iniettiva e suriettiva è anche invertibile, l'inversa esiste ed è anch'essa iniettiva e suriettiva (per questo l'ho potuta usare nella verifica)
Mi faccio una domanda e mi dò una risposta... il mio cervello è alle Baleari in questo momento...
Anche io lo stavo risolvendo così però davo come per scontato che fosse troppo banale partendo dal presupposto dell'usare l'inversa sulle immagini... xD
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