Inversione del teorema di Lagrange

[matematicus95]

devo dimostrare che per $A_4$ (gruppo alterno di ordine 4) non si inverte il teorema di Lagrange, infatti non esiste un sottogruppo di ordine 6.
per assurdo suppongo che esiste $H<=A_4$ tale che $|H|=6$. Allora esso è normale poiché ha indice 2, quindi ha senso considerare $A_4/H$ ; osservo che ogni 3-ciclo di $S_4$ è una permutazione pari, allora appartiene ad $A_4$; e ogni 3-ciclo ha periodo 3, e quindi il suo inverso è il suo quadrato.
ora il libro continua dicendo che poiché $|A_4/H|=2$ ogni 3-ciclo appartiene a $H$, potreste spiegarmi perché?

[Frink1]

Se la cardinalità è 2 significa che ci sono due elementi, uno è l'identità e l'altro sia $gH$. Può $g$ essere un 3-ciclo? No, altrimenti quale sarebbe il periodo di $gH$?

[matematicus95]

non lo so come faccio a capirlo?

[Frink1]

$gH$ ha periodo 2, perché il quoziente è di soli due elementi. Allora $gH \cdot gH = H \Rightarrow (g \cdot g)H = H$ ossia $g^2$ sta in $H$. Siccome $1=g^3=g \cdot g^2$, $gH \cdot g^2 H =gH =H$ che è assurdo (spero sia chiaro, mi spiace se non lo fosse ma sono da mobile, appena posso scrivo meglio)