Inversi sinistri (molto sinistri :\) e destri
sera a voi!(Assumo che ^t sia "appiccicato" alla matrice più a sinistra.
)C'è una affermazione che mi lascia un po' interdetto riguardo la matrice ortogonale.
Ossia che se $(A^t)A=I$ allora A è ortogonale.
La dimostrazione dovrebbe seguire questi passi, stando al libro:
$A^tA=I => A A^tA=A$ quindi si deduce che $(A A^t)A=A$ è $(I)A=A$.
Il punto che mi lascia parecchio sospettoso è il seguente (valga l'associatività):
quando esiste un elemento inverso sinistro x di y, non è detto che esista l'inverso destro, io sono nella condizione $x*y=I => y*x*y=y$ quindi sono esattamente nella condizione $(y*x)*y=1*y$ (1 neutro della nostra poerazione diciamo), tuttavia mica è vero che posso confrontare il membro a sinistra e a destra e giungere a dire che $y*x=1$, perché il confronto per cui asserirei questo è la "cancellazione" di y che prevederebbe l'esistenza dell'inverso x' (magari anche uguale a x) destro che voglio proprio dimostrare esistere. Ma non è mica sempre vero che esista e che sia il medesimo (dx e sx) proprio per questo motivo. (sbaglio?)
Ora, nel caso matriciale A, non assumo l'esistenza di alcuna inversa, quindi come si fa quel confronto per cui deduco che $(A A^t)=I$? Mi è sinistramente ben poco chiaro!
Risposte
Ciao, puoi usare il fatto che se una matrice quadrata ammette un'inversa a sinistra, allora ammette un'inversa a destra e l'inversa a sinistra è uguale all'inversa a destra. Sei a conoscenza di queste cose?
Ciao, grazie per la risposta 
a) volevo dividere la domanda in due parti, primariamente volevo capire se le mie elucubrazioni:
fossero corrette, confermi o smentisci la veridicità di quanto esposto? Almeno metto ordine alle idee.
b) quando dici mi è noto, però quello che volevo dire è che io non so ancora se quella matrice è invertibile no?
Perché mi viene presentata come proprietà prima di dimostrare che $A^t=A^(-1)$. Dice solo per "confronto", però messa così mi pare sbagliato per quanto dicevo nel primo messaggio.
Riporto precisamente le proprietà elencate in ordine "cronologico" del testo:
P1) $A^tA=I => A A^tA=A$ quindi si deduce che $(A A^t)A=A$ è $(I)A=A$. in definitiva $A^tA=I =>A A^t=I$, quindi la proprietà che vuole mostrare è che se $A^tA=I$ ho che A è sicuramente ortogonale (senza dover verificare l'altro "lato").
P2) Dalla $A^tA=A A^t=I$ e definizione di matrice inversa $A A^(-1)=A^(-1)A=I$ si ha che $A^(-1)=A^t$
ma io uso a priori il fatto che esiste l'inversa in P1) per giungere a quel risultato, e messa così non mi pare corretta.
Però se anche invertissi le proprietà ossia dimostrassi prima P2) e poi P1) mi accorgo che P1) messa così è del tutto inutile, poiché se vale P2) ossia $A^(-1)=A^t$, bhe, già so che mi basta controllare un lato ed è del tutto superfluo dimostrare la P1) poiché se la trasposta è l'inversa, l'inversa è unica. insomma comunque la rigiri quella P1) è proprio poco convincente!
a) volevo dividere la domanda in due parti, primariamente volevo capire se le mie elucubrazioni:
quando esiste un elemento inverso sinistro x di y, non è detto che esista l'inverso destro, io sono nella condizione $x*y=I => y*x*y=y$ quindi sono esattamente nella condizione $(y*x)*y=1*y$ (1 neutro della nostra poerazione diciamo), tuttavia mica è vero che posso confrontare il membro a sinistra e a destra e giungere a dire che $y*x=1$, perché il confronto per cui asserirei questo è la "cancellazione" di y che prevederebbe l'esistenza dell'inverso x' (magari anche uguale a x) destro che voglio proprio dimostrare esistere. Ma non è mica sempre vero che esista e che sia il medesimo (dx e sx) proprio per questo motivo. (sbaglio?)
fossero corrette, confermi o smentisci la veridicità di quanto esposto?
Almeno metto ordine alle idee.b) quando dici mi è noto, però quello che volevo dire è che io non so ancora se quella matrice è invertibile no?
Perché mi viene presentata come proprietà prima di dimostrare che $A^t=A^(-1)$. Dice solo per "confronto", però messa così mi pare sbagliato per quanto dicevo nel primo messaggio.
Riporto precisamente le proprietà elencate in ordine "cronologico" del testo:
P1) $A^tA=I => A A^tA=A$ quindi si deduce che $(A A^t)A=A$ è $(I)A=A$. in definitiva $A^tA=I =>A A^t=I$, quindi la proprietà che vuole mostrare è che se $A^tA=I$ ho che A è sicuramente ortogonale (senza dover verificare l'altro "lato").
P2) Dalla $A^tA=A A^t=I$ e definizione di matrice inversa $A A^(-1)=A^(-1)A=I$ si ha che $A^(-1)=A^t$
ma io uso a priori il fatto che esiste l'inversa in P1) per giungere a quel risultato, e messa così non mi pare corretta.
Però se anche invertissi le proprietà ossia dimostrassi prima P2) e poi P1) mi accorgo che P1) messa così è del tutto inutile, poiché se vale P2) ossia $A^(-1)=A^t$, bhe, già so che mi basta controllare un lato ed è del tutto superfluo dimostrare la P1) poiché se la trasposta è l'inversa, l'inversa è unica
. insomma comunque la rigiri quella P1) è proprio poco convincente!
"serafinon":Confermo.
confermi o smentisci la veridicità di quanto esposto?
Quanto al resto, concordo sul fatto che la dimostrazione che hai riportato (non so da dove) è scritta male.
Io farei così: supponiamo $A$ quadrata e $A^t A = 1$. In particolare $A$ ha un'inversa a sinistra, quindi ha anche un'inversa a destra (questo è un fatto base di algebra lineare), chiamiamola $B$. In altre parole $AB=1$. Moltiplicando ambo i membri a sinistra per $A^t$ otteniamo $A^t A B = A^t$ cioè $B=A^t$.
Questo è per dimostrarti che il punto focale della questione è l'esistenza di $B$, la qual cosa è scollegata dal tema specifico delle matrici ortogonali ed è una cosa di base che dovresti conoscere. Ho paura che l'esercizio non si possa risolvere senza essere a conoscenza dell'esistenza di $B$.
Ci sono ancora due cose che vorrei capire.
Inizio con la prima, la seconda dopo:
Mi pare che hai detto che se esiste inversa destra allora esiste inversa sinistra. Questo mi sfugge il perché.
Mille grazie!
Inizio con la prima, la seconda dopo
:Mi pare che hai detto che se esiste inversa destra allora esiste inversa sinistra. Questo mi sfugge il perché.
Mille grazie!
Quante cose che scopro e non so manco dove avrei potuto trovarle, non era nemmeno riportata sul libro quella proprietà, che diceva solamente se esiste inversa sx e dx allora è unica (si beh grazie, fin lì ci arrivavo ).
Devo solo capire come ficcarmi tutte 'ste robe in mente.
Grazie!
PS:
Ma ancora più semplicemente non posso dire:
$A^t A = 1$ che coincide con la definizione di inverso sinistro da cui l'inversa sx è A trasposta, qundi $A^t$ è inverso sinistro. Ma sappiamo che esiste anche inverso dx (tuo link). Tuttavia se esistono inversi dx e sx allora sono lo stesso elemento, infine l'inverso è dimostrabile essere unico. Quindi $ A A^-1= A A^t = 1$
).Devo solo capire come ficcarmi tutte 'ste robe in mente
.Grazie!
PS:
"Martino":
Io farei così: supponiamo $A$ quadrata e $A^t A = 1$. In particolare $A$ ha un'inversa a sinistra, quindi ha anche un'inversa a destra (questo è un fatto base di algebra lineare), chiamiamola $B$. In altre parole $AB=1$. Moltiplicando ambo i membri a sinistra per $A^t$ otteniamo $A^t A B = A^t$ cioè $B=A^t$.
Ma ancora più semplicemente non posso dire:
$A^t A = 1$ che coincide con la definizione di inverso sinistro da cui l'inversa sx è A trasposta, qundi $A^t$ è inverso sinistro. Ma sappiamo che esiste anche inverso dx (tuo link). Tuttavia se esistono inversi dx e sx allora sono lo stesso elemento, infine l'inverso è dimostrabile essere unico. Quindi $ A A^-1= A A^t = 1$
Certo ma "dimostrabile" può voler dire che la dimostrazione è lunga 300 pagine. Per questo ho scritto la dimostrazione, per far vedere che è lunga una riga.
La pigrizia non ha limite .
Comunque chiaro, ti ringrazio di nuovo.
.Comunque chiaro, ti ringrazio di nuovo.
Scusate, forse ricordo male, ma non è possibile che si ragioni così:
$A A^t = (A^t A)^t = I^t = I$?
$A A^t = (A^t A)^t = I^t = I$?
"gugo82":
$A A^t = (A^t A)^t = I^t = I$?
Caspita mi sa che hai ragione!
forse ricordo male
In che senso ricordi male? Intendi sulla proprietà della trasposta? (Non ho ben capito il punto "dubbio"). In tal caso no, mi sembra proprio applicato correttamente! Più banalmente non ci avevo pensato
Edito:
Ma sai che riguardandoci non sono del tutto sicuro, ci pensavo cenando:
$A A^t= ((A^t)^tA^t)^t=(A A ^t)^t$insomma, non ottengo un granché
Edito e 2: mi accorgo solo ora che Martino è già intervenuto, ma mi sembra confermare il mio primo edit
, sollievo!Edito: sistemo mille errori di battitura e formattazione formule (mai rispondere dal Cell è un macello)
In generale $(AB)^t=B^tA^t$ e quindi $(A A^t)^t= (A^t)^t A^t = A A^t$.
Vorrei porre una domanda @ Martino su questo punto che mi interessa:
La prima è questa: ma se io ho $(y*x)*y=y$ ovviamente per cancellazione otterei $(x*y)=1$ (quindi come dice l'OP ho bisogno dell'inverso). Ma d'altra parte c'è un punto che mi è dubbio. Se considero $(y*x)*y=y$ c'è davvero bisogno del confronto? Mi pare che unicamente $(y*x)=1$ possa rendere vera l'uguaglianza. In che altro modo se non avendo 1 avrei $1*y=y$ vera?
"serafinon":
quando esiste un elemento inverso sinistro x di y, non è detto che esista l'inverso destro, io sono nella condizione $x*y=I => y*x*y=y$ quindi sono esattamente nella condizione $(y*x)*y=1*y$ (1 neutro della nostra poerazione diciamo), tuttavia mica è vero che posso confrontare il membro a sinistra e a destra e giungere a dire che $y*x=1$, perché il confronto per cui asserirei questo è la "cancellazione" di y che prevederebbe l'esistenza dell'inverso x' (magari anche uguale a x) destro che voglio proprio dimostrare esistere. Ma non è mica sempre vero che esista e che sia il medesimo (dx e sx) proprio per questo motivo. (sbaglio?)
La prima è questa: ma se io ho $(y*x)*y=y$ ovviamente per cancellazione otterei $(x*y)=1$ (quindi come dice l'OP ho bisogno dell'inverso). Ma d'altra parte c'è un punto che mi è dubbio. Se considero $(y*x)*y=y$ c'è davvero bisogno del confronto? Mi pare che unicamente $(y*x)=1$ possa rendere vera l'uguaglianza. In che altro modo se non avendo 1 avrei $1*y=y$ vera?
"albalonga":Chi ti dice che puoi cancellare $y$?
ovviamente per cancellazione otterei $(x*y)=1$
Prova a scegliere
$x=((1,0),(0,1))$
$y=((1,0),(0,0))$
con l'usuale moltiplicazione tra matrici. Allora $x=1$ (matrice identica) e quindi $x*y=y*x=y ne 1$. D'altra parte $y*y=y$ e quindi $(y*x)*y=y$.
$x=((1,0),(0,1))$
$y=((1,0),(0,0))$
con l'usuale moltiplicazione tra matrici. Allora $x=1$ (matrice identica) e quindi $x*y=y*x=y ne 1$. D'altra parte $y*y=y$ e quindi $(y*x)*y=y$.
Ho detto una minghiatona avete ragione
Grazie.
Grazie.
Forse puoi anche vederla così:
$A^t*A=Id$ quindi $det(A^t*A)=det(Id)$ facilmente $det(A)=+-1!=0$, quindi invertibile.
Ora, siccome invertibile (e vale associatività), inversa sx e dx coincidono ed è unico l'inverso, quindi: $A^t*A=Id$ ci dice che è inversa sx (coincidendo con la def. di inverso sx), ma varrà che (essendo unico) $A*A^t=Id$ => è ortogonale.
Mi sembra coerente, no?
$A^t*A=Id$ quindi $det(A^t*A)=det(Id)$ facilmente $det(A)=+-1!=0$, quindi invertibile.
Ora, siccome invertibile (e vale associatività), inversa sx e dx coincidono ed è unico l'inverso, quindi: $A^t*A=Id$ ci dice che è inversa sx (coincidendo con la def. di inverso sx), ma varrà che (essendo unico) $A*A^t=Id$ => è ortogonale.
Mi sembra coerente, no?
"Il_Gariboldi":
Forse puoi anche vederla così:
$A^t*A=Id$ quindi $det(A^t*A)=det(Id)$ facilmente $det(A)=+-1!=0$, quindi invertibile.
Ora, siccome invertibile (e vale associatività), inversa sx e dx coincidono ed è unico l'inverso, quindi: $A^t*A=Id$ ci dice che è inversa sx (coincidendo con la def. di inverso sx), ma varrà che (essendo unico) $A*A^t=Id$ => è ortogonale.
Mi sembra coerente, no?
Ho visto che nessuno ha più letto
Sì Il_Gariboldi hai detto cose esatte. Tuttavia osserva che il punto della discussione era incentrato nel fatto che se esiste un'inversa a sinistra allora esiste un'inversa a destra. Cioè la discussione riguardava la dimostrazione di questo fatto.
Grazie per la conferma
Forse ho travisato ma a me pareva il dubbio oltre che sugli inversi fosse:
Forse ho travisato ma a me pareva il dubbio oltre che sugli inversi fosse:
"serafinon":
Riporto precisamente le proprietà elencate in ordine "cronologico" del testo:
P1) $A^tA=I => A A^tA=A$ quindi si deduce che $(A A^t)A=A$ è $(I)A=A$. in definitiva $A^tA=I =>A A^t=I$, quindi la proprietà che vuole mostrare è che se $A^tA=I$ ho che A è sicuramente ortogonale (senza dover verificare l'altro "lato").
La dimostrazione dovrebbe seguire questi passi, stando al libro:
$A^tA=I => A A^tA=A$ quindi si deduce che $(A A^t)A=A$ è $(I)A=A$.
Lì serafinon stava solo riportando degli argomenti, non stava chiedendo niente. Continuando a leggere trovi il suo dubbio:
Comunque aspetta che ti risponda serafinon, che è il diretto interessato.
"serafinon":Come vedi il dubbio riguarda l'esistenza dell'inversa.
ma io uso a priori il fatto che esiste l'inversa in P1) per giungere a quel risultato, e messa così non mi pare corretta.
Comunque aspetta che ti risponda serafinon, che è il diretto interessato.
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