Inversa serie di Laurent

[franzu1]

Stavo svolgendo un esercizio dove veniva richiesto il calcolo del residuo di $ 1/sin (1/z) $ in z=0 che è un punto di singolaritá essenziale. Ora, la mia domanda non è prettamente sull'esercizio (e credo che avrei dovuto pubblicare nella sezione di Analisi nel caso) perchè credo di averlo risolto bene agendo nel seguente modo: ho trovato i residui in tutti gli altri punti di singolaritá e all'infinito e ho usato la proprietá che asserisce che la somma di tutti i residui fa 0 per trovare quello mancante. A questo punto volevo, per controllare che il risultato fosse corretto, risolvere l'esercizio in modo piu diretto, ossia cercando direttamente lo sviluppo in serie di Laurent della funzione ricavando così il coefficiente di $ 1/z $. Però mi sono scontrato col fatto che non riesco a trovare lo sviluppo dell'inverso di $ sen(1/z) $ conoscendone il suo. Mi chiedo, se per i polinomi esiste un inverso moltiplicativo, che puo essere scritto come serie (es. L'inverso di $ 1-x $ è $ 1/(1-x)=sum_(n=0)^oo x^n $ ) c'è un inverso moltiplicativo per le serie di potenze e in particolare per le serie di laurent? Sotto quali condizioni esiste? E come si può trovare? Interpretando la serie di potenze come serie di taylor, visto che in tal caso i coefficienti sono le derivate ennesime divise per n fattoriale mi veniva da ottenere i coefficienti dell'inverso applicando le regole di derivazione dell'inverso di una funzione visto che io conosco il valore di tutte le derivate della funzione a denominatore. Quindi $ a_0=1/f(0) $ , $ a_1=-((partial f)/(partial x))/f^2 $ , $ a_2=-(f((partial^2 f)/(partial^2 x))-2((partial f)/(partial x))^2) /f^3 $ e così via. Ma a) non riesco a dedurre una formula per tutti gli ordini, b) nel caso in cui il primo coefficiente della serie sia 0 mi blocco perchè no non potendo dividere per 0 non so che pesci pigliare.

[killing_buddha]

Una serie di potenze e' invertibile se e solo se il tuo termine noto e' invertibile.

[Martino]

In una serie di Laurent sono ammessi gli esponenti negativi, quindi se l'anello base è un campo allora tutte le serie di Laurent non nulle sono invertibili (cioè il loro inverso è una serie di Laurent).

[franzu1]

Ok quindi la serie di laurent di $ sin z $ centrAta in z=0 non è invertibile se non ho capito male. Domanda: c'è un metodo per trovare l'inversa di una serie di laurent (qualora esista) data la serie stessa?

[Martino]

La serie di Laurent di [tex]\sin z[/tex] centrata in zero è invertibile (come ogni serie di Laurent non nulla). Vedi qui(1), qui(2) e qui(3). Ricorda che tu non sei in [tex]R[[X]][/tex] ma in [tex]R((X))[/tex]. Se la tua serie è divisibile per X allora moltiplica tutto per [tex]1/X[/tex] e procedi (lo puoi fare perché [tex]1/X[/tex] è una serie di Laurent).