Inversa di dirichlet completamente moltiplicativa
Sia \(f\) una funzione aritmetica moltiplicativa. Dimostra che la sua inversa di Dirichlet \(f^{-1} \) è completamente moltiplicativa se e solo se \(f(p^k) = 0 \) per ogni \(p\) primo e per ogni \( k \geq 2 \).
Allora il prof ci ha dato l'hint di dimostrare prima che \( f \) è completamente moltiplicativa se e solo se \( f^{-1}(n) = \mu(n)f(n) \).
L'hint una direzione l'ho fatta così.
Se \(f\) è completamente moltiplicativa allora chiamando \(g(n):=\mu(n)f(n) \) dobbiamo dimostrare che \(g \ast f = \mathbf{1} \) dove \( \mathbf{1} (n) = 1 \) se \(n=1\) e \( \mathbf{1}(n)=0 \) altrimenti.
Abbiamo pertanto
\[ g \ast f (n) = \sum_{d \mid n} g(d) f(n/d) = \sum_{d \mid n} \mu(d) f(d) f(n/d) = f(n) \sum_{d \mid n} \mu (d) = f(n) \mathbf{1}(n) = \mathbf{1}(n) \]
e dunque \( g = f^{-1} \).
L'altra direzione non riesco a dimostrarla. Ovvero se \( f^{-1}(n) = \mu(n) f(n) \) come faccio a dimostrare che \(f\) è completamente moltiplicativa?
Dovrei avere che \( f(nm) = \mu(nm)f^{-1}(nm) = \mu(n) \mu(m) f^{-1}(nm) =\ldots \)??
Ora prendendo per verificato l'hint. Come faccio a dimostrare quello che mi richiede? Se \(f^{-1} \) è completamente moltiplicativa allora
\[ f(n) = \mu(n) f^{-1}(n) \]
e dunque se \( k \geq 2 \) e \(p \) primo abbiamo.
\[ f(p^k) = \mu(p^k) f^{-1}(p^k) = 0 \]
ma se \( f(p^k) = 0 \) come faccio?
Allora il prof ci ha dato l'hint di dimostrare prima che \( f \) è completamente moltiplicativa se e solo se \( f^{-1}(n) = \mu(n)f(n) \).
L'hint una direzione l'ho fatta così.
Se \(f\) è completamente moltiplicativa allora chiamando \(g(n):=\mu(n)f(n) \) dobbiamo dimostrare che \(g \ast f = \mathbf{1} \) dove \( \mathbf{1} (n) = 1 \) se \(n=1\) e \( \mathbf{1}(n)=0 \) altrimenti.
Abbiamo pertanto
\[ g \ast f (n) = \sum_{d \mid n} g(d) f(n/d) = \sum_{d \mid n} \mu(d) f(d) f(n/d) = f(n) \sum_{d \mid n} \mu (d) = f(n) \mathbf{1}(n) = \mathbf{1}(n) \]
e dunque \( g = f^{-1} \).
L'altra direzione non riesco a dimostrarla. Ovvero se \( f^{-1}(n) = \mu(n) f(n) \) come faccio a dimostrare che \(f\) è completamente moltiplicativa?
Dovrei avere che \( f(nm) = \mu(nm)f^{-1}(nm) = \mu(n) \mu(m) f^{-1}(nm) =\ldots \)??
Ora prendendo per verificato l'hint. Come faccio a dimostrare quello che mi richiede? Se \(f^{-1} \) è completamente moltiplicativa allora
\[ f(n) = \mu(n) f^{-1}(n) \]
e dunque se \( k \geq 2 \) e \(p \) primo abbiamo.
\[ f(p^k) = \mu(p^k) f^{-1}(p^k) = 0 \]
ma se \( f(p^k) = 0 \) come faccio?
Risposte
"3m0o":
Ovvero se \( f^{-1}(n) = \mu(n) f(n) \) come faccio a dimostrare che \(f\) è completamente moltiplicativa?
La funzione \(\mu\) è completamente moltiplicativa. Se \(a=b\star c\), e \(a,b\) sono completamente moltiplicative, tale è \(c\), si può dimostrare per induzione.
Cos'è \( \star \) ? Perché lì è la moltiplicazione usuale tra reali.
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