Inversa destra e sinistra di un'applicazione
Salve!
Studiando algebra mi sono trovata di fronte alla dimostrazione di questo teorema:
"Una funzione $f:A\toB$ ammette inversa sinistra se e solo se è iniettiva, e ammette inversa destra se e solo se è suriettiva"
La dimostrazione è suddivisa in quattro parti (a seconda che l'implicazione vada dall'iniettività all'inversa sinistra o viceversa, o che vada dalla suriettività all'inversa destra e viceversa).
non mi è del tutto chiaro un passaggio:
sia $f$ iniettiva.
ho $f':A\toB$ e la definisco così:
se $zinIm(f)subeB$ allora, se $x$ è l'unica controimmagine di $z$ in $f$, poniamo $f'(z)=x$.
se invece $zinB\Im(f)$ poniamo $f'(z)=x_0$ dove $x_0$ indica un arbitrario elemento di A.
è immediato verificare che $(f'of)(x)=x$ per ogni $x inA$ e quindi $f'$ è l'inversa sinistra di $f$.
ho provato a vederlo graficamente, e effettivamente è chiaro che se $f$ è iniettiva allora $f'of=1_A$
(con $1_A$ l'applicazione identica definita come $1_A:A\toA$ che associa all'elemeno $a$ se stesso).
ma non saprei come esporre una verifica di questo tipo durante l'esame.
Studiando algebra mi sono trovata di fronte alla dimostrazione di questo teorema:
"Una funzione $f:A\toB$ ammette inversa sinistra se e solo se è iniettiva, e ammette inversa destra se e solo se è suriettiva"
La dimostrazione è suddivisa in quattro parti (a seconda che l'implicazione vada dall'iniettività all'inversa sinistra o viceversa, o che vada dalla suriettività all'inversa destra e viceversa).
non mi è del tutto chiaro un passaggio:
sia $f$ iniettiva.
ho $f':A\toB$ e la definisco così:
se $zinIm(f)subeB$ allora, se $x$ è l'unica controimmagine di $z$ in $f$, poniamo $f'(z)=x$.
se invece $zinB\Im(f)$ poniamo $f'(z)=x_0$ dove $x_0$ indica un arbitrario elemento di A.
è immediato verificare che $(f'of)(x)=x$ per ogni $x inA$ e quindi $f'$ è l'inversa sinistra di $f$.
ho provato a vederlo graficamente, e effettivamente è chiaro che se $f$ è iniettiva allora $f'of=1_A$
(con $1_A$ l'applicazione identica definita come $1_A:A\toA$ che associa all'elemeno $a$ se stesso).
ma non saprei come esporre una verifica di questo tipo durante l'esame.
Risposte
sia $x in A$, allora chiamo $f(x)=b$
applico $f'$ a $b$ e ottengo ovviamente che $f'(b)=x$, per come è definita $f'$
da questa semplice osservazione segue la tesi.
applico $f'$ a $b$ e ottengo ovviamente che $f'(b)=x$, per come è definita $f'$
da questa semplice osservazione segue la tesi.
"blackbishop13":
sia $x in A$, allora chiamo $f(x)=b$
applico $f'$ a $b$ e ottengo ovviamente che $f'(b)=x$, per come è definita $f'$
da questa semplice osservazione segue la tesi.
basta così poco???
Sono arrivato a vedere le funzioni inverse (dopo aver visto il concetto di composizione di funzione), e prima di proseguire proprio con il teorema sopra esposta volevo avere un chiarimento sulla definizione di funzione inversa sinistra e funzione inversa destra.
Sulla dispensa si parte dall'assunto che e' facilmente verificabile che
$f \o 1_A = f = 1_B \o f$
e ci si chiede se esistono delle funzioni $f1,f2: B rarr A$ tale che:
$f1 \o f = 1_A$ e $f \o f2 = 1_B$
che vengono definite rispettivamente inversa sinistra e inversa destra.
Quello che volevo capire era se la funzione sinistra, che e' la funzione identita', restituisce come valore un elemento dell'insieme A e viceversa la funzione destra restituisce
un valore dell'insieme B?
Sulla dispensa si parte dall'assunto che e' facilmente verificabile che
$f \o 1_A = f = 1_B \o f$
e ci si chiede se esistono delle funzioni $f1,f2: B rarr A$ tale che:
$f1 \o f = 1_A$ e $f \o f2 = 1_B$
che vengono definite rispettivamente inversa sinistra e inversa destra.
Quello che volevo capire era se la funzione sinistra, che e' la funzione identita', restituisce come valore un elemento dell'insieme A e viceversa la funzione destra restituisce
un valore dell'insieme B?
dovresti imparare a essere più preciso e conciso nelle tue richieste. riformulo:
data [tex]$f: A\to B$[/tex], siano [tex]$id_A\text{ e }id_B$[/tex] le funzioni identità negli insiemi [tex]$A \text{ e }B$[/tex] rispettivamente.
osservato che [tex]f \circ id_A=f=id_B \circ f$[/tex], ci si chiede se esistono
[tex]f_1,f_2 : B \to A \text{ t.c. } f_1 \circ f=f \circ f_2=f$[/tex].
chiameremo [tex]$f_1 \text{ inversa sinistra e } f_2 \text{ inversa destra}$[/tex].
in particolare devi imparare a definire una funzione specificando insieme di partenza e di arrivo.
adesso, la domanda che hai posto nelle ultime righe mi pare incomprensibile.
una funzione da[tex]$A$[/tex] a [tex]$B$[/tex] ovviamente prende un valore di [tex]$A$[/tex] e restituisce un valore di [tex]$B$[/tex], non capisco.
cosa vuol dire poi "la funzione sinistra [che non si sa cosa sia] è la funzione identità" ?
data [tex]$f: A\to B$[/tex], siano [tex]$id_A\text{ e }id_B$[/tex] le funzioni identità negli insiemi [tex]$A \text{ e }B$[/tex] rispettivamente.
osservato che [tex]f \circ id_A=f=id_B \circ f$[/tex], ci si chiede se esistono
[tex]f_1,f_2 : B \to A \text{ t.c. } f_1 \circ f=f \circ f_2=f$[/tex].
chiameremo [tex]$f_1 \text{ inversa sinistra e } f_2 \text{ inversa destra}$[/tex].
in particolare devi imparare a definire una funzione specificando insieme di partenza e di arrivo.
adesso, la domanda che hai posto nelle ultime righe mi pare incomprensibile.
una funzione da[tex]$A$[/tex] a [tex]$B$[/tex] ovviamente prende un valore di [tex]$A$[/tex] e restituisce un valore di [tex]$B$[/tex], non capisco.
cosa vuol dire poi "la funzione sinistra [che non si sa cosa sia] è la funzione identità" ?
scusa black, hai ragione.
Al momento ci sono due cose poco chiare per me; inizio dalla prima.
$f \ \circ \ id_A = f = id_B \ \circ \ f $
di questa, la prima parte dovrei averla capita, e cioè:
ho una composizione di funzione tra $id_A : A rarr A$ e $f : A rarr B$
in cui il codominio di $id_A$ è il dominio di $f$
che esprimo come $f \ \circ \ id_A = f$, oppure come $f(id_A(a)) = f$
in questo caso $id_A$ restituisce l'elemento stesso della funzione che viene passato ad $f$, la quale funzione restituisce la propria immagine $b in B$
la seconda parte dell'identità, cioe' $f = id_B \ \circ \ f$ invece e' una composizione di funzione tra $f: A rarr B$ e $id_B : B rarr B$
dove il codominio di $f$ e' il dominio di $id_B$, e che posso esprimere anche come
$id_B(f(a)) = f$
in questo caso la funzione restituisce l'immagine $b in B$ ????
una scrittura come [tex]$f\left( id_A \left( a \right) \right)=f$[/tex] non ha alcun senso.
semmai è [tex]$f \left( id_A \left( a \right) \right)=f \left( a \right)$[/tex]
il punto è che [tex]$id_A \left( a \tight) =a$[/tex] e quindi le due scritture sono intercambiabili, cioè sono la stessa cosa proprio perchè parliamo della funzione identità.
poi per l'inversa sinistra sarà [tex]$id_B \left( f\left( a \right) \right) \right)=f \left( a \right)$[/tex] per lo stesso motivo.
semmai è [tex]$f \left( id_A \left( a \right) \right)=f \left( a \right)$[/tex]
il punto è che [tex]$id_A \left( a \tight) =a$[/tex] e quindi le due scritture sono intercambiabili, cioè sono la stessa cosa proprio perchè parliamo della funzione identità.
poi per l'inversa sinistra sarà [tex]$id_B \left( f\left( a \right) \right) \right)=f \left( a \right)$[/tex] per lo stesso motivo.
Ho capito, e a questo punto dovrebbe essere chiaro anche l'altro dubbio che avevo.
Grazie ancora
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