Introduzione al forcing
Stavo cercando delle informazioni sulla tecnica del forcing (diciamo una introduzione al forcing "divulgativa", nel senso senza troppi dettagli tecnici) perché mi incuriosisce non poco e cercando un po' ho trovato questi due link: http://mathforum.org/kb/thread.jspa?for ... ID=1688945 e https://arxiv.org/abs/0712.1320, sinceramente il primo non mi è piaciuto molto, non ho finito di leggerlo, ma il secondo mi ha creato qualche perplessità.
Per ora ho letto i primi 5 paragrafi ma ci sono delle cose che non ho capito per ora che ritengo siano fondamentali da capire per procedere, è per questo che vi chiedo aiuto: una cosa che non ho capito è questo pezzo qui
Le parti evidenziate in rosso sono quelle che non ho capito, nella prima lui dice "costruiamo $F$", ma non lo fa! Per lo meno è quello che ho capito io, quindi in definitiva, come va costruito questo insieme?
La seconda non ho la più pallida idea di come si dovrebbe fare la cosa che lui dice che è semplice, penso che sia anche collegata al punto precedente, dato che non so com'è definito $F$ non saprei lavorarci.
Poi c'è un'altra cosa che non mi torna: quando lui inizia a parlare dei modelli di $ZFC$ dice che invece di cercarne di espliciti è meglio ragionare su quali proprietà particolari possono avere, che sono aggiuntive rispetto agli assiomi e mi sembra sia sottinteso che queste proprietà dovrebbero essere cose dimostrabili in $ZFC$, sennò non avrebbe senso, però è qui che mi sorge il dubbio perché le proprietà che lui considera sono "essere standard" e "essere transitivi", ma essere standard è definito come "tutti gli elementi sono ben fondati", ma io mi chiedo: questa non è una conseguenza dell'assioma di fondazione?
Vi ringrazio in anticipo per le risposte.
Per ora ho letto i primi 5 paragrafi ma ci sono delle cose che non ho capito per ora che ritengo siano fondamentali da capire per procedere, è per questo che vi chiedo aiuto: una cosa che non ho capito è questo pezzo qui
"Let us now construct a function $F$ from the Cartesian product $\aleph_2^M\times\aleph_0$ into the set $2 = {0,1}$. We may interpret $F$ as a sequence of functions from $\aleph_0$ into $2$. Because $M$ is countable and transitive, so is $\aleph_2^M$ ; thus we can easily arrange for these functions to be pairwise distinct. Now, if $F$ is already in $M$, then $M$ satisfies $¬CH$! The reason is that functions from $\aleph_0$ into $2$ can be identified with subsets of $\aleph_0$, and $F$ therefore shows us that the powerset of $\aleph_0$ in $M$ must be at least $\aleph_2$ in $M$. Done!"
Le parti evidenziate in rosso sono quelle che non ho capito, nella prima lui dice "costruiamo $F$", ma non lo fa! Per lo meno è quello che ho capito io, quindi in definitiva, come va costruito questo insieme?
La seconda non ho la più pallida idea di come si dovrebbe fare la cosa che lui dice che è semplice, penso che sia anche collegata al punto precedente, dato che non so com'è definito $F$ non saprei lavorarci.
Poi c'è un'altra cosa che non mi torna: quando lui inizia a parlare dei modelli di $ZFC$ dice che invece di cercarne di espliciti è meglio ragionare su quali proprietà particolari possono avere, che sono aggiuntive rispetto agli assiomi e mi sembra sia sottinteso che queste proprietà dovrebbero essere cose dimostrabili in $ZFC$, sennò non avrebbe senso, però è qui che mi sorge il dubbio perché le proprietà che lui considera sono "essere standard" e "essere transitivi", ma essere standard è definito come "tutti gli elementi sono ben fondati", ma io mi chiedo: questa non è una conseguenza dell'assioma di fondazione?
Vi ringrazio in anticipo per le risposte.
Risposte
Un'idea di come è definita $F$ viene data dopo, a pagina 13, a seguito di una escursione nella teoria dei modelli booleani di ZFC; come puoi notare non è del tutto elementare il motivo per cui una tale $F$ esista.
Ah ok, ora capisco, a me va anche bene che rimandi la costruzione di quell'insieme a dopo, però poteva dirlo esplicitamente.
Ma quando dici l'esistenza di un TALE insieme intendi uno per cui sia possibile riordinarlo come vuole lui giusto?
Invece per quanto riguarda i modelli standard che mi sai dire?
Ma quando dici l'esistenza di un TALE insieme intendi uno per cui sia possibile riordinarlo come vuole lui giusto?
Invece per quanto riguarda i modelli standard che mi sai dire?
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