Intersezione tra $Z_m$ e $Z_n$

[ludovica.sarandrea]

Buongiorno, ho un dubbio di algebra 1
In un esercizio ho due gruppi, $Z_3$ e $Z_4$ e ho bisogno di trovare la loro intersezione.
Io ho pensato che questa sia $0$ in quanto mi viene spontaneo dire che $[1]_3$ e' diverso da $[1]_4$. E' corretto?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

La domanda non ha molto senso, non potresti segnalarci il testo esatto dell'esercizio?

[ludovica.sarandrea]

Sia φ l’unico omomorfismo suriettivo da $Z_4$ ad $Aut(Z_3)$. Sia B il prodotto semidiretto
$Z_3$ o $Z_4$ associato a φ.
Dimostrare che B non e' isomorfo ne al gruppo diedrale $D_6$ ne al gruppo alternante $A_4$.
Io ho pensato di applicare il fatto che il prodotto semidiretto tra due gruppi H e G e' uguale a quello diretto sempre tra H e G se i due gruppi sono normali e se la loro intersezione e' banale, quindi la mia domanda e' $Z_3$ e $Z_4$ hanno intersezione banale?

[killing_buddha]

Chiedere che due insiemi abbiano intersezione banale non ha senso a meno che i due insiemi non appartengano a uno stesso insieme.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Se G è un prodotto semidiretto tra due gruppi H e K allora in G l'intersezione tra H e K è banale per definizione di prodotto semidiretto.

Per risolvere il tuo problema ti consiglio di osservare che B ha un sottogruppo normale di ordine 3, mentre A4 non ce l'ha. Inoltre B ha elementi di ordine 4 mentre D6 non ne ha.

[ludovica.sarandrea]

Volendo, sapendo che l'intersezione e' banale potrei anche applicare la proposizione secondo cui dati due sottogruppi N e H, con N normale e l'intersezione banale, il prodotto semidiretto tra N e H e' uguale a NH e quindi poi considerare $Z_12$??

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

No il tuo gruppo B non è isomorfo a Z12.

[ludovica.sarandrea]

Per quale motivo non posso applicare il teorema?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Lo puoi applicare ma il prodotto NH non è isomorfo al prodotto diretto NxH.