Intersezione non banale di sottogruppi

[isaac888]

Salve a tutti
Ho la seguente proposizione: Sia $G$ un gruppo e sia $K:=\bigcap_{H
Per dimostrare che se $x\in G\\{e}$ allora $o(x)<+\infty$ non mi viene nessuna idea interessante. So che $\ne{e}$ e questo mi dice che sicuramente $K< $. Dunque $K$ è ciclico. Ma non mi riesce di concludere niente altro. Per di più nessuno ha mai detto che $o(G)<+\infty$ e nel caso $G=\mathbb{Z}$ non riesco a dire cosa succede. Ho solo scoperto che se $G$ è un gruppo ciclico di ordine $p^n$ non dà problemi mentre per $G$ gruppo ciclico di ordine che non sia potenza di un primo non riesco a ottenere $K$. Qualcuno sa aiutarmi? Grazie

[hydro1]

Se $G$ è finito il claim è banalmente vero, visto che ogni elemento ha ordine finito. La domanda giusta a cui devi provare a rispondere è: qual è l'intersezione di tutti i sottogruppi non banali di $(\mathbb Z;+)$?

[isaac888]

hydro:Se $G$ è finito il claim è banalmente vero, visto che ogni elemento ha ordine finito. La domanda giusta a cui devi provare a rispondere è: qual è l'intersezione di tutti i sottogruppi non banali di $(\mathbb Z;+)$?

Se il gruppo è finito hai ragione che sia banale... che scemo che sono!
Comunque sul fatto che chiedersi cosa succeda su $(\mathbb{Z,+})$ sia una buona idea sono d'accordo. Anche se.... non è mica detto che i gruppi infiniti siano solo abeliani. Il gruppo delle matrici 2x2 reali invertibili ne è un esempio.... voglio dire che anche dimostrandolo per $\mathbb{Z}$ non è detto che riuscirei a generalizzarlo... mi sembra troppo complicato per essere un secondo esercizio del secondo capitolo dell'Herstein

I sottogruppi di $(\mathbb{Z},+)$ sono tutti e soli della forma $m\mathbb{Z}$ con $m\in \mathbb{N}$. Quindi $K=\bigcap_{m\in \mathbb{N}^+}m\mathbb{Z}$. Da qui non saprei come calcolare il minimo comune multiplo di infiniti $m\in \mathbb{N}^+$... Non credo proprio che sia la strada giusta questa.
Fatto sta che sembra che $\mathbb{Z}$ rispetti l'ipotesi perchè $\bigcap_{m\in \mathbb{N}^+}m\mathbb{Z}\ne {e}$ ma io di elementi di ordine finito non ne riesco a vedere a parte lo 0. C'è qualcosa che non torna. Quell'intersezione dei sottogruppi di $\mathbb{Z}$ deve essere per forza banale. Anche se riuscissi a dimostrarlo non mi servirebbe a nulla nella dimostrazione

[hydro1]

"Isaac888":
Comunque sul fatto che chiedersi cosa succeda su $(\mathbb{Z,+})$ sia una buona idea sono d'accordo. Anche se.... non è mica detto che i gruppi infiniti siano solo abeliani. Il gruppo delle matrici 2x2 reali invertibili ne è un esempio.... voglio dire che anche dimostrandolo per $\mathbb{Z}$ non è detto che riuscirei a generalizzarlo... mi sembra troppo complicato per essere un secondo esercizio del secondo capitolo dell'Herstein

Non c'è niente da generalizzare. Se esiste in $G$ un elemento di ordine infinito, allora $G$ ha un sottogruppo isomorfo a $\mathbb Z$.

"Isaac888":
I sottogruppi di $(\mathbb{Z},+)$ sono tutti e soli della forma $m\mathbb{Z}$ con $m\in \mathbb{N}$. Quindi $K=\bigcap_{m\in \mathbb{N}^+}m\mathbb{Z}$.

Ti do un suggerimento valido per tutti gli esercizi di questo livello: usa le definizioni. Per definizione, un intero vive in $m\mathbb Z$ se è un multiplo di $m$. Qual è la definizione di intersezione di sottogruppi?

[isaac888]

Sì hai ragione, se $G$ è infinito esiste sempre un $x\in G$ tale che $o(x)=+\infty$ e $$ è un sottogruppo ciclico isomorfo a $\mathbb{Z}$.

L'intersezione è il più grande sottogruppo contenuto in tutti i sottogruppi coinvolti. In questo caso ${0}$. Non ci ho proprio pensato... le cose più semplici mi hanno fregato... grazie mille comunque.

[Studente Anonimo]

"Isaac888":Sì hai ragione, se $G$ è infinito esiste sempre un $x\in G$ tale che $o(x)=+\infty$

Falso. Non è questo che hydro sta dicendo.

[isaac888]

Sì sì ho sbagliato. Se esiste un elemento di ordine infinito in $G$ questo genera un sottogruppo ciclico che è isomorfo a $\mathbb{Z}$ dentro $G$ e necessariamente $G$ ha ordine infinito. È questo che volevo dire veramente. Grazie della correzione. Penso a un controesempio della cosa sbagliata e poi lo scrivo

[Studente Anonimo]

Ok. Comunque il tutto si può dire in poche parole: se per assurdo $x in G$ ha ordine infinito allora l'intersezione dei sottogruppi ciclici $$, $n in NN$ è uguale a ${1}$, contraddizione.

[isaac888]

Ho trovato questo: $(\mathbb{Q}\\ \mathbb{Z},+)$ come gruppo infinito in cui tutti gli elementi sono di ordine finito. Lo scrivo casomai servisse a qualcuno che se lo fosse chiesto e/o non l'avesse mai visto.

Gli elementi di questo gruppo sono della forma $\frac{n}{m} + \mathbb{Z}$. Questo elemento ha ordine al più $m$.

[hydro1]

"Isaac888":Ho trovato questo: $(\mathbb{Q}\\ \mathbb{Z},+)$ come gruppo infinito in cui tutti gli elementi sono di ordine finito.

Sì beh ci sono anche esempi meno raffinati, tipo \(\bigoplus_{n\in \mathbb N} \mathbb F_2\). Invece una domanda interessante e altamente non banale è costruire un gruppo finitamente generato e infinito in cui tutti gli elementi hanno ordine finito.