Intersezione elementi famiglia insiemi
Ciao a tutti,
mi è venuto il seguente dubbio : Se ho due famiglie finite di insiemi $A$ e $B$ tali che $ A sube B $ e indico con $A_j , B_j, j=1,2,...,k$ i k insiemi contenuti nella famiglia $A$ e in quella $B$, posso dire che è vera anche l'affermazione
$\bigcap_(j =1) ^k A_j sube \bigcap_(j =1) ^k B_j $ ?
Per ora non ho in mente nessuna dimostrazione di questo, ma continuerò a pensarci..a dire la verità non so nemmeno se è vero in generale
Un saluto a tutta comunità
p.s. Ho modificato il messaggio perchè c'era un svista, chiedo perdono
mi è venuto il seguente dubbio : Se ho due famiglie finite di insiemi $A$ e $B$ tali che $ A sube B $ e indico con $A_j , B_j, j=1,2,...,k$ i k insiemi contenuti nella famiglia $A$ e in quella $B$, posso dire che è vera anche l'affermazione
$\bigcap_(j =1) ^k A_j sube \bigcap_(j =1) ^k B_j $ ?
Per ora non ho in mente nessuna dimostrazione di questo, ma continuerò a pensarci..a dire la verità non so nemmeno se è vero in generale
Un saluto a tutta comunità
p.s. Ho modificato il messaggio perchè c'era un svista, chiedo perdono
Risposte
Penso che dipenda da ulteriori condizioni di questi insiemi.
Se
[tex]\forall B_j\ \not \exists A_i: A_i \subset B_j, j \in [1,k], i \in [1,k][/tex]
allora è vera anche la tua condizione.
Invece nella condizione meno stringente che
[tex]B_i \subseteq A_i, i \in [1,k][/tex]
allora la tua condizione non è più sicuramente vera.
Se
[tex]\forall B_j\ \not \exists A_i: A_i \subset B_j, j \in [1,k], i \in [1,k][/tex]
allora è vera anche la tua condizione.
Invece nella condizione meno stringente che
[tex]B_i \subseteq A_i, i \in [1,k][/tex]
allora la tua condizione non è più sicuramente vera.
Precisamente, ha ragione Quinzio. Occorrono ulteriori ipotesi.
Cordiali saluti
Cordiali saluti
"Pazzuzu":
Ciao a tutti,
mi è venuto il seguente dubbio : Se ho due famiglie finite di insiemi $B$ e $A$ tali che $ B sube A $ e indico con $A_j , B_j, j=1,2,...,k$ i k insiemi contenuti nella famiglia $A$ e in quella $B$, posso dire che è vera anche l'affermazione
$\bigcap_(j =1) ^k A_j sube \bigcap_(j =1) ^k B_j $ ?
Per ora non ho in mente nessuna dimostrazione di questo, ma continuerò a pensarci..a dire la verità non so nemmeno se è vero in generale
Un saluto a tutta comunità
Fammi capire:
\(\mathcal{A}= \left\{A_1, A_2,\cdots, A_k, \cdots, A_n\right\}\)
\(\mathcal{B}= \left\{B_1, B_2,\cdots, B_k, \cdots, B_m\right\}\)
Per ipotesi \(\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A}\).
Poi prendi tutti gli \(A_j\) e \(B_j\in \mathcal{A}\cap\mathcal{B}=\mathcal{B}\)... In pratica stai intersecando gli elementi della famiglia \(\mathcal{B}\)? Non mi è chiaro...
Cercherò di essere più chiaro
$A = { A_1 , ... , A_k}$
$B = { B_1 , ... , B_k}$
Dove $A_j$ e $B_j$ ,con $(j =1,2,..., k )$, sono generici insiemi...
Poi ho che $ \bigcap_(j=1) ^k A_j = A_1 \cap A_2 \cap...\cap A_k$ e che $ \bigcap_(j=1) ^k B_j = B_1 \cap B_2 \cap...\cap B_k$
Aggiungo alle ipotesi che $A sube B$ e qui finiscono le ipotesi, se necessario più avanti potremo farne altre, vediamo se ci bastano queste..
La mia tesi , da verificare , è : $ \bigcap_(j=1) ^k A_j sube \bigcap_(j=1) ^k B_j $
In pratica prendo due famiglie di insiemi, incluse strettamente l'una nell'altra, e ne interseco gli elementi (interseco tra di loro solo gli elementi di una stessa famiglia) che altro non sono che altri insiemi..Ora il dubbio è : Anche le intersezioni degli elementi di queste famiglie sono incluse l'una nell'altra ?
$A = { A_1 , ... , A_k}$
$B = { B_1 , ... , B_k}$
Dove $A_j$ e $B_j$ ,con $(j =1,2,..., k )$, sono generici insiemi...
Poi ho che $ \bigcap_(j=1) ^k A_j = A_1 \cap A_2 \cap...\cap A_k$ e che $ \bigcap_(j=1) ^k B_j = B_1 \cap B_2 \cap...\cap B_k$
Aggiungo alle ipotesi che $A sube B$ e qui finiscono le ipotesi, se necessario più avanti potremo farne altre, vediamo se ci bastano queste..
La mia tesi , da verificare , è : $ \bigcap_(j=1) ^k A_j sube \bigcap_(j=1) ^k B_j $
In pratica prendo due famiglie di insiemi, incluse strettamente l'una nell'altra, e ne interseco gli elementi (interseco tra di loro solo gli elementi di una stessa famiglia) che altro non sono che altri insiemi..Ora il dubbio è : Anche le intersezioni degli elementi di queste famiglie sono incluse l'una nell'altra ?
Pazzuzu, continuo ad essere perplesso per le notazioni che utilizzi, ma mi assumo la colpa... Sono de coccio, c'è poco da fare... 
.Cerco di spiegare i miei dubbi.
Per come hai scritto ora il testo, le famiglie \(\mathcal{A}\) e \(\mathcal{B}\) hanno la stessa cardinalità, in questo caso \(k\). Se ci aggiungi la condizione \(\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A}\) segue che \(\mathcal{A}=\mathcal{B}\), cioè le due famiglie coincidono, hanno gli stessi elementi. Inoltre intersechi tutti gli elementi di \(\mathcal{A}\) e tutti gli elementi \(\mathcal{B}\) ma è ovvio che:
\(\bigcap_{j=1}^k A_k=\bigcap_{j=1}^k B_k\)
proprio perché \(\mathcal{A}=\mathcal{B}\).
Non so, c'è qualcosa che non mi quadra
In generale è falso
Prendi ad esempio
$A_1=(0,1)$
$A_2=(0,1)$
$A_3=(0,2)$
$B_1=(0,1)$
$B_2=(1,2)$
$B_3=(0,2)$
$nn A_i=(0,1)$
$nn B_i=emptyset$
Se però consideri che gli $A_i$ siano tutti diversi dalla relazione di inclusione hai che:
$A_i=B_{j_1}$
$A_2=B_{j_2}$
$A_k=B_{j_k}$
hai che $A=B$ e quindi è vera.
edit @mathematico: esatto.
Prendi ad esempio
$A_1=(0,1)$
$A_2=(0,1)$
$A_3=(0,2)$
$B_1=(0,1)$
$B_2=(1,2)$
$B_3=(0,2)$
$nn A_i=(0,1)$
$nn B_i=emptyset$
Se però consideri che gli $A_i$ siano tutti diversi dalla relazione di inclusione hai che:
$A_i=B_{j_1}$
$A_2=B_{j_2}$
$A_k=B_{j_k}$
hai che $A=B$ e quindi è vera.
edit @mathematico: esatto.
[xdom="dissonance"]Sposto nella sezione di Algebra, logica, (ecc...).[/xdom]
"Mathematico":
Per come hai scritto ora il testo, le famiglie \(\mathcal{A}\) e \(\mathcal{B}\) hanno la stessa cardinalità, in questo caso \(k\). Se ci aggiungi la condizione \(\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A}\) segue che \(\mathcal{A}=\mathcal{B}\), cioè le due famiglie coincidono, hanno gli stessi elementi.
Mhmh si mi hai convinto, supponiamo allora che abbiano diversa cardinalità..
"DajeForte":
In generale è falso
Prendi ad esempio
$A_1=(0,1)$
$A_2=(0,1)$
$A_3=(0,2)$
$B_1=(0,1)$
$B_2=(1,2)$
$B_3=(0,2)$
$nn A_i=(0,1)$
$nn B_i=emptyset$
Scusa ma nel tuo caso non si avrebbe $nn A_i=(0)$ ?
Comunque questo esempio è sufficiente , non è vero in generale , grazie mille..
"Mathematico":
Per come hai scritto ora il testo, le famiglie A e B hanno la stessa cardinalità, in questo caso k. Se ci aggiungi la condizione B⊆A segue che A=B,
Ora però proviamo a considerare ,come elementi della famiglia $A$ , $k$ sottoinsiemi aperti di $ CC ^m $ e ,come elementi di $B$ , $k$ palle aventi ciascuna come centro un punto degli $A_j$ e di raggio tale che $B_j sube A_j$, e immaginiamo che tra le palle e gli $A_j$ ci sia una relazione biunivoca..Allora posso dire che $A$ e $B$ hanno la stessa cardinalità ( che in questo caso è $k$), giusto ? Se la risposta è si. vado al passo successivo :
E' evidente che per come abbiamo costruito le due famiglie si ha che $B sube A$, eppure in generale $B != A$, basta semplicemente prendere il raggio di ciascuna palla piccolo a piacere in modo che ciascuna palla sia sempre un sottoinsieme proprio del suo $A_j$, tutte le ipotesi precedenti sono soddisfatte..Tutto ciò però contraddice quanto hai detto tu prima e che ho citato qui sopra..Ci dev'essere un errore ma non vedo dove..
Non sono riuscito a pieno a capire cosa dici.
Credo di aver capito che sbagli su $B subset A$.
Secondo te se $A={(0,2),(5,7)}$ e $B{(1,2),(5,7)}$ hai che $B subset A$?
Credo di aver capito che sbagli su $B subset A$.
Secondo te se $A={(0,2),(5,7)}$ e $B{(1,2),(5,7)}$ hai che $B subset A$?
"DajeForte":
Non sono riuscito a pieno a capire cosa dici.
Credo di aver capito che sbagli su $B subset A$.
Secondo te se $A={(0,2),(5,7)}$ e $B{(1,2),(5,7)}$ hai che $B subset A$?
Perdonami DajeForte ma non capisco il senso di questo esempio
Perchè me lo proponi ? Non ho mai detto che qualsiasi famiglia di insiemi $A$ e $B$ con la stessa cardinalità, si ha che $A sub B$.Al massimo , come prima cosa ho espresso i miei dubbi sul risultato del tuo precedente esempio
,come seconda cosa ho portato alla vostra attenzione un esempio particolare che contrastava con quanto detto da Mathematico e mi sono chiesto dove stesse l'errore : nel mio esempio o nella sua affermazione ? Non potevano essere vere entrambe...p.s. Inoltre non ho mai usato il simbolo $sub$, in nessun mio post è accaduto che l'abbia utilizzato..
"Pazzuzu":
Ora però proviamo a considerare ,come elementi della famiglia $A$ , $k$ sottoinsiemi aperti di $ CC ^m $ e ,come elementi di $B$ , $k$ palle aventi ciascuna come centro un punto degli $A_j$ e di raggio tale che $B_j sube A_j$, e immaginiamo che tra le palle e gli $A_j$ ci sia una relazione biunivoca..Allora posso dire che $A$ e $B$ hanno la stessa cardinalità ( che in questo caso è $k$), giusto ? Se la risposta è si. vado al passo successivo :
E' evidente che per come abbiamo costruito le due famiglie si ha che $B sube A$, [...]
Se ho capito quello che vuoi dire, non è vero che $B sube A$
Questa condizione $B sube A$ significa che $forall B_i in B \ Rightarrow B_i in A$
ma non che $forall B_i in B; \quad exists A_j in A " tale che " B_i sube A_j$. (semra tu voglia intendere questo, magari sbaglio)
P.S Questo $subset$ lo intendevo con $sube$
"DajeForte":
[quote="Pazzuzu"]Ora però proviamo a considerare ,come elementi della famiglia $A$ , $k$ sottoinsiemi aperti di $ CC ^m $ e ,come elementi di $B$ , $k$ palle aventi ciascuna come centro un punto degli $A_j$ e di raggio tale che $B_j sube A_j$, e immaginiamo che tra le palle e gli $A_j$ ci sia una relazione biunivoca..Allora posso dire che $A$ e $B$ hanno la stessa cardinalità ( che in questo caso è $k$), giusto ? Se la risposta è si. vado al passo successivo :
E' evidente che per come abbiamo costruito le due famiglie si ha che $B sube A$, [...]
Se ho capito quello che vuoi dire, non è vero che $B sube A$
Questa condizione $B sube A$ significa che $forall B_i in B \ Rightarrow B_i in A$
ma non che $forall B_i in B; \quad exists A_j in A " tale che " B_i sube A_j$. (semra tu voglia intendere questo, magari sbaglio)
P.S Questo $subset$ lo intendevo con $sube$[/quote]
Penso di aver capito cosa mi dici, ma per precisione ti dirò come, nell'esempio ambientato in $CC ^m$, sono arrivato alla conclusione che $B sube A$.
Sono partito prima di tutto dal fatto che per ogni $A_j in A$ esiste uno e un solo $B_j in B : B_j sube A_j$ (questo era nelle ipotesi) e poi ho concluso che $B sube A$ .
Propongo un esempio :
$A = { ( AA z in CC^m : d(z,z_0) < 1 ) , ( AA z in CC^m : d(z,z_1) < 1 ) }$
Ora introduco la famiglia $B$ delle palle tali che :
$B = { ( AA z in CC^m : d(z, z_0) < 0,5) , ( AA z in CC^m : d(z,z_1) < 0,5 ) }$
Ho scelto come centro delle palle il centro degli $A_j$ per rendere l'esempio più semplice..
Ora ho costruito queste due famiglie proprio in modo che :
$B_1 sube A_1 \wedge B_2 sube A_2$
e quindi (questo è il passaggio doloroso) $B sube A$...
Ma quindi hai capito l'errore?
Non è vero che $B sube A$.
Non è vero che $B sube A$.
Si ma vorrei capire perchè, anche se gli insiemi di $B$ sono contenuti negli insiemi di $A$, non posso concludere che $B sube A$..so che sembrerà una questione stupida, ma ho iniziato da poco a studiare la teoria degli insiemi e non ho trovato da nessuna parte una delucidazione su questo particolare...
Salve Pazzuzu,
in realtà, se gli elementi $B$ sono anche elementi di $A$, può concludere ciò e per capire il perchè ti rimando ad una discussione in cui si evince l'uso del simbolo $sube$:
esercizio-sottoinsiemi-t21867.html
e le mie due immagini postate nella pagina: esercizio-sottoinsiemi-t21867-30.html.
Cordiali saluti
in realtà, se gli elementi $B$ sono anche elementi di $A$, può concludere ciò e per capire il perchè ti rimando ad una discussione in cui si evince l'uso del simbolo $sube$:
esercizio-sottoinsiemi-t21867.html
e le mie due immagini postate nella pagina: esercizio-sottoinsiemi-t21867-30.html.
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve Pazzuzu,
in realtà, se gli elementi $B$ sono anche elementi di $A$, può concludere ciò e per capire il perchè ti rimando ad una discussione in cui si evince l'uso del simbolo $sube$:
Mhm ciao garnak.olegovitc,hai letto bene la discussione ? Gli elementi di B non so anche elementi di A, ma gli elementi di B sono contenuti negli elementi di A..
Detto a parole $B sube A$ se ogni elemento di $B$ è anche in $A$, ma non se per ogni elemento di $B$ c'è un insieme in $A$ che è più grande o uguale! Ci deve essere proprio quello (per ogni insieme).
Per tornare al tuo esempio: è vero che $B_1 sube A_1$ e o stesso per il due ma per affermare che $B sube A$ ci deve essere, in $A$, sia $B_1$ che $B_2$ (proprio quelli e non sovrainsiemi).
Per tornare al tuo esempio: è vero che $B_1 sube A_1$ e o stesso per il due ma per affermare che $B sube A$ ci deve essere, in $A$, sia $B_1$ che $B_2$ (proprio quelli e non sovrainsiemi).
Salve Pazzuzu,
hai ragione, scusami ho letto male...purtroppo non bevuto un adeguato quantitativo di caffè. Un caso particolare, insomma.
Cordiali saluti
hai ragione, scusami ho letto male...purtroppo non bevuto un adeguato quantitativo di caffè. Un caso particolare, insomma.
Cordiali saluti
"Pazzuzu":
Gli elementi di B non so anche elementi di A, ma gli elementi di B sono contenuti negli elementi di A..
ed è proprio questo! per dire $B sube A$ devi avere che gli elementi di B sono anche elementi di A.
Perfetto DajeForte sei stato gentilissimo ora ho tutto ben chiaro..Ringrazio anche tutti gli altri che mi hanno dato una mano
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