Intersezione di sottogruppi (di un gruppo) = sottogruppo identico, allora il derivato del gruppo è identico
Buongiorno. Scusatemi, studiando mi trovo davanti a tale risultato:
Sia $K$ un sottogruppo finitamente generato di un gruppo $G$. Allora l'intersezione dei sottogruppi di indice finito di $K$ è uguale al sottogruppo identico {1}. Dunque il derivato di K ossia $K'$ ( che per definizione è uguale a $<< xyx^(-1)y^(-1) con x, y in K>>$) è uguale anch'esso al sottogruppo identico {1}. Il mio dubbio è: perchè si ha quest'ultima uguaglianza? Ho studiato i commutatori, gli interderivati, i derivati e teoremi ad essi annessi, sto facendo mente locale mente locale sulle cose studiate ma non sono riuscita a trovare il collegamento tra l'intersezione di sottogruppi di indice finito di $K$ con il derivato $K'$ = {1}..
Che collegamento c'è tra essi?
Sia $K$ un sottogruppo finitamente generato di un gruppo $G$. Allora l'intersezione dei sottogruppi di indice finito di $K$ è uguale al sottogruppo identico {1}. Dunque il derivato di K ossia $K'$ ( che per definizione è uguale a $<< xyx^(-1)y^(-1) con x, y in K>>$) è uguale anch'esso al sottogruppo identico {1}. Il mio dubbio è: perchè si ha quest'ultima uguaglianza? Ho studiato i commutatori, gli interderivati, i derivati e teoremi ad essi annessi, sto facendo mente locale mente locale sulle cose studiate ma non sono riuscita a trovare il collegamento tra l'intersezione di sottogruppi di indice finito di $K$ con il derivato $K'$ = {1}..
Che collegamento c'è tra essi?
Risposte
Ciao,
ma non è nemmeno vero: se per esempio
$G=K$ è un gruppo finito
allora ovviamente è finitamente generato (è finito)
e ovviamente l'intersezione dei sottogruppi di indice finito di $G$ è uguale a ${1}$ (perché ${1}$ stesso ha indice finito)
ma il derivato $G'$ non è sempre uguale a ${1}$. Infatti $G'={1}$ se e solo se $G$ è abeliano.
Dove hai trovato il risultato? Su che note stai leggendo? Che libro stai usando? Se ci dai un contesto è più facile capire.
ma non è nemmeno vero: se per esempio
$G=K$ è un gruppo finito
allora ovviamente è finitamente generato (è finito)
e ovviamente l'intersezione dei sottogruppi di indice finito di $G$ è uguale a ${1}$ (perché ${1}$ stesso ha indice finito)
ma il derivato $G'$ non è sempre uguale a ${1}$. Infatti $G'={1}$ se e solo se $G$ è abeliano.
Dove hai trovato il risultato? Su che note stai leggendo? Che libro stai usando? Se ci dai un contesto è più facile capire.
Sono delle fotocopie 
Se invece non avessimo l'iipotesi di gruppo finito ma avessimo il gruppo G finitamente generato, il fatto che l'intersezione dei sottogruppi di indice finito di G sia il sottogruppo identico {1} viene dal fatto che un sottogruppo di indice finito di un gruppo finitamente generato è finitamente generato?
Se invece non avessimo l'iipotesi di gruppo finito ma avessimo il gruppo G finitamente generato, il fatto che l'intersezione dei sottogruppi di indice finito di G sia il sottogruppo identico {1} viene dal fatto che un sottogruppo di indice finito di un gruppo finitamente generato è finitamente generato?
"Pama":
Sia $K$ un sottogruppo finitamente generato di un gruppo $G$. Allora l'intersezione dei sottogruppi di indice finito di $K$ è uguale al sottogruppo identico {1}.
Questo è falso, per esempio il gruppo Baumslag-Solitar B(2,3) è finitamente generato (da 2 elementi) ma non residualmente finito (cerca su internet).
Residualmente finito significa che l'intersezione dei sottogruppi di indice finito è {1}.
Ok sono fotocopie ma fotocopie di cosa? Ovviamente non rispondere se non vuoi, era solo per capire. Ciao!
Sono delle fotocopie che riguardano vari argomenti di algebra superiore.
Grazie
Grazie
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