Intersezione di ideali principali

[squalllionheart]

rega salve mi spiegate una cosa che nn comprendo.
Esercizio:
In $ZZ$ si considerino gli ideali principali $I:=(15-5i)$ e $(6-12i)$ colcolare $InnJ$.
Ingenuamente io ho calcolato i fattori comuni pensando al significato di intersezione, invece la soluzione calcola il minimo comune multiplo tra i fattori.Sapete spiegarmi il perchè?

[vict85]

"squalllionheart":rega salve mi spiegate una cosa che nn comprendo.
Esercizio:
In $ZZ$ si considerino gli ideali principali $I:=(15-5i)$ e $(6-12i)$ colcolare $InnJ$.
Ingenuamente io ho calcolato i fattori comuni pensando al significato di intersezione, invece la soluzione calcola il minimo comune multiplo tra i fattori.Sapete spiegarmi il perchè?

$5(3-i) = p$
$6(1-3i) = q$

Perché ogni elemento $m in InnJ$ $m = sp = tq$
Ponendo $MCD(p, q) = n$ e quindi $p = np'$ e $q = nq'$ abbiamo che $m = n(sp') = n(tq')$ e quindi $sp' = q't$ in cui $q' | s$ e $p' | t$ perché $MCD(p', q')=1$
Infine $np'q' | np's = m$.
Inoltre abbiamo che $mcm(p,q)$ c'è nell'intersezione.

Quindi abbiamo che ogni elemento di $InnJ$ è multiplo del $mcm(p,q)$ e quindi l'intersezione è l'ideale generato da questo.