Interpretazione Definizione

[hamming_burst]

Salve,
vorrei chiedere un parere su una definizione.

Dati due insieme $A$ e $B$ non-empty e finiti, ed una relazione di ordine \(\preceq\) definita come:

1. For every $a in A$, there exists some $b in B$ such that \(a \preceq b\).
2. For every $b in B$, there exists some $a in A$ such that \(a \preceq b\).

quel some mi crea qualche dubbio. Questa definizione la interpretereste come per dire alla fine quando $a = b$ allora c'è una relazione e sono confrontabili?

Se mi illuminate, ringrazio anticipatamente

[maurer]

A me non torna già prima: una relazione d'ordine per me è sempre definita su un solo insieme. Potresti spiegarti meglio? Quella dovrebbe essere la definizione di cosa?

[garnak.olegovitc1]

Salve hamming_burst,

"maurer": Potresti spiegarti meglio? Quella dovrebbe essere la definizione di cosa?

quoto.

Cordiali saluti

[hamming_burst]

in effetti avete ragione manca una parte, avevo il portatile al 3% di batteria ed ho scritto un po' in fretta cercando di generalizzare per farvi comprendere il dubbio.
Rimedio riportando tutto:

generalizzo la definizione togliendo ciò che non serve per farvi capire di cosa parlo:

Sia una struttura algebrica \((D,\preceq)\) con elemento minimo , e \(\wp(D)\) il suo insieme delle parti (composto da insiemi finiti). Definisco un ordine parziale come: \(\forall\ A,B \in \wp(D)\) allora \(A\ \preceq_{EM}\ B\) ssse:

[*:zvnpkw8d] per tutti gli \(a \in A\), esiste qualche \(b \in B\) per cui \(a\ \preceq_{D}\ b\).[/*:m:zvnpkw8d]
[*:zvnpkw8d] per tutti i \(b \in B\), esiste qualche \(a \in A\) per cui \(a\ \preceq_{D}\ b\).[/*:m:zvnpkw8d][/list:u:zvnpkw8d]

\(\preceq_{EM}\): è una relazione su insiemi, come $\subseteq$ ma un po' particolare, ritenetelo come sottoinsieme se vi sembra più comprensibile.

la definizione originale ha delle proprietà più forti, ma sono validi in generale (all'incirca) se definiti come sopra.
Metto in spoiler, per completezza, se ritenete che la mia traduzione manchi di qualche parte.

For a pointed CPO $D$ (CPO con il minimo, n.d.h.), the discrete Egli-Milner powerdomain of $D$, \(\mathbb{P}_{EM}(D)\), is the collection of nonempty subsets of $D$ which are either finite or contain $\bot$, partially ordered as follows: for all \(A,B \in \mathbb{P}_{EM}(D)\), \(A\ \sqsubseteq_{EM}\ B\) iff:


[*:zvnpkw8d] For every \(a \in A\), there exists some \(b \in B\) such that \(a\ \sqsubseteq_{D} b\).[/*:m:zvnpkw8d]
[*:zvnpkw8d] For every $b \in B$, there exists some $a \in A$ such that \(a\ \sqsubseteq_{D}\ b\).[/*:m:zvnpkw8d][/list:u:zvnpkw8d]


la mia domanda rimane uguale al primo post. Ringrazio

[maurer]

Scusa per il ritardo.
Beh, ok, così ha senso. Ma non mi è chiara la tua perplessità iniziale, adesso!
Sembra, in un certo senso, che [tex]A \preceq_{EM} B[/tex] significhi qualcosa come "A e B sono relativamente cofinali rispetto alla relazione data [tex]\preceq[/tex]". Questo ti aiuta?

[hamming_burst]

grazie della risposta

"maurer":Scusa per il ritardo.
Beh, ok, così ha senso. Ma non mi è chiara la tua perplessità iniziale, adesso!
Sembra, in un certo senso, che [tex]A \preceq_{EM} B[/tex] significhi qualcosa come "A e B sono relativamente cofinali rispetto alla relazione data [tex]\preceq[/tex]". Questo ti aiuta?

le definizione di cofinalità non la conosco. Però vedendola mi ha dato un piccolo input, che mi ha fatto comprendere il mio errore di ragionamento su quando due insiemi sono confrontabili e quando no, e cosa succede quando questi produce una catena (illimitata).

Un altro errore era considerare quella definizione non come un AND ma come un OR, cioè devono essere valutate entrambe per render valida la definizione (sia forall a che forall b) e non solo un lato della relazione. Questo è capitato perchè ci sono almeno sei varianti di questa definizione che cambiano per poco ed è facile incriccarsi.

Ti ringrazio dell'aiuto, è stato un lumicino importante

[maurer]

... prego... non ho capito cosa ho fatto, ma comunque se ti è servito... XD