[Interi] primi e infinità

[Kashaman]

Ho sempre pensato che la definizione di numero primo sia solo una definizione e non un vero e proprio teorema.
cioè
ciò che mi è sempre stato propinato è che
def
se $p>1$ Allora $p$ si dice primo se
ogni qualvolta che presi $a,b in ZZ$ si ha che
$p|ab=> p|a vv p|b$
ma leggo esplicitamente qui-->http://it.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Euclide
che questo non è nient'altro che il primo teorema di Euclide,
e che si può dedurre facilmente dal
lemma di Euclide
Se $n>0$,$a,b in ZZ$
$n|ab , (n,a)=1 vv (n,b)=1 => n|b vv n|a$.
Domanda, perché , se è una conseguenza di un teorema, allora perché la si propina come definizione?
----------
Passiamo alla seconda parte della domanda.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Teorema
I numeri primi sono infiniti.
La dimostrazione che uso fa uso del Teorema fondamentale dell'aritmetica.
dim
Supponiamo per assurdo che i numeri primi siano finiti. e cioè consideriamo l'insieme dei numeri primi $P = {p_1,p_2,.....,p_k}$.
Consideriamo $N=p_1*p_2*..*p_k+1$. Si nota subito che $N>0$. E visto che $N$ non sta in $P$ , non è primo.
In particolare, per il Teorema fondamentale dell'aritmetica, $N$ si decompone nel prodotto di primi, e in particolare esiste un primo in $P$ tale che divide la somma ma allora quindi tale primo divide anche $1$. Il che è un assurdo perché se $p$ è primo, $p>1$.
( ciò deriva dal fatto che se
$p|p , p|abcd...fp+1 => p|1$)

Domanda : Considerando $N=p_1*p_2*..*p_k+1$ si vuol alla fine dimostrare che esiste sempre un primo di quella forma?
E che quindi è limitativo considerare $k$ primi, perché alla fine se li si moltiplica tra loro, e si aggiunge un $1$ si ottiene sempre un primo.
prendendo i primi $k$ primi, quel $N$ di genera sempre dei primi.
$N_1 =2+1=3$
$N_2 = 2*3+1=7$
$N_3=2*3*5=31$
$N_4 = 2*3*5*7=211$
$N_5 = ...= 2311$... ma è sempre cosi?
Alla fine $N$ presentato è una sorta di generatore di primi, anche se non in maniera ordinata, giusto?
Voi considerate tale dimostrazione forte, oppure debole? esistono dimostrazioni più forti di questo teorema?
Grazie anticipatamente.

[Gi81]

Rispondo alla prima:
Nel lemma di Euclide $n$ non è necessariamente primo.
Prendi $n=10$, $a=3$ e $b=50$.



Per quanto riguarda la seconda domanda, calcola $N_6$. Noterai che non è primo

[Rggb1]

"Debole"?

Data la definizione di numero primo, se i primi sono finiti e formano l'insieme $P={p_1, ... p_k}$ il numero $n=p_1*...*p_k + 1$ è - in base alla definizione - primo, ma non appartiene all'insieme $P$, assurdo.

[Kashaman]

hai ragione!
Avrei che $N_6 = 30031 = 59 * 509$ che non è primo.
Però una cosa mi sfugge ancora, che forse è il fulcro stesso della dimostrazione.
Giungere a quell'assurdo cosa significa?
Se è errato pensare che $N = \prod p_i +1$ è un primo ( o meglio in generale non vale), allora si mostra che alla fine
si può avere che $N$ è primo, oppure $N$ è composto e quindi in entrambi i casi,
esiste un primo al di fuori dell'insieme ${p_1,p_2,....,p_k}$ tale che divide $N$. E ciò è dovuto al fatto che per il Teorema a fattorizzazione unica, ogni $n in ZZ$ si decompone nel prodotto di primi, ma allora nella dimostrazione siamo giunti all'assurdo che $N$ non si decomponeva nel prodotto di primi, e che quindi, esiste sempre un $p_(k+1) | N$ al di fuori di
${p_1,p_2,....,p_k}$.
E' giusto ciò che dico?

[Gi81]

Sì, è corretto.

Aggiungo una cosa: questo teorema ci dice che, presi i primi $k$ numeri primi, e cioè \[ p_1 < p_2 < p_3 < \ldots < p_{k-1} si ha sempre che esiste un numero primo $p$ con \[p_k

Cita

Segnala

[Kashaman]

grazie mille ad entrambi

[algibro]

Riprendo questo post per una questione stupida, ma ritengo dovermi chiarire le idee in maniera assoluta.

Dal testo che seguo viene riportata la seguente dimostrazione per assurdo:

"Siano $p_0, p_1,...,p_n$ tutti i numeri primi con $p_0 < p_1 < ... < p_n$
Sia $a=p_0 \cdot p_1 \cdot ... \cdot p_n + 1$, $a>1$
Per il teorema fondamentale dell'aritmetica, $a$ si decompone in un prodotto di primi,
cioè esiste un primo $p$ tale che $p|a$,
Sia ora questo $p=p_j, \ 0 \leq j \leq n$.
Allora $p_j|a$ e $p_j|p_0p_1... p_n \Rightarrow p_j|a-p_0p_1... p_n=1$. Assurdo !"

Assurdo perché:
- $1$ non è un numero primo per definizione e $p_j = 1$ ?
- se $a$ è divisibile solamente per $a$ e per $p_j = 1$ allora $a$ è un numero primo e $a>p_n$ ?
- esiste un numero primo $p_i \in \mathbb{N}: p_n
o tutte e tre ?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"algibro":$1$ non è un numero primo per definizione

Questa.

[algibro]

ottimo ! grazie.