Interi di Gauss: fattorizzazione

[Gatto891]

Probabilmente è una cavolata, ma mi ci sono bloccato...

Sto lavorando sugli interi di Gauss, che sono un dominio euclideo e quindi a maggior ragione un dominio a fattorizzazione unica.

Ho il polinomio $13 +5i$, con:

$13 +5i = (1+i)(9-4i)$ che per motivi di norma sono irriducibili e

$13 +5i = (1-i)(4+9i)$ che, similmente, sono irriducibili.

Ma i fattori non sono associati, quindi parrebbero due fattorizzazioni diverse. Come mai?

[alvinlee881]

"Gatto89":
Ma i fattori non sono associati, quindi parrebbero due fattorizzazioni diverse. Come mai?

I fattori sono associati: $(1+i)=i(1-i)$, $(9-4i)=-i(4+9i)$, e $i,-i$ sono invertibili.

[Gatto891]

Oh that's right... grazie, immaginavo mi stavo perdendo in un bicchiere d'acqua

Un altro "dubbio": se devo trovare il MCD di due polinomi come $13 +5i$ e $8 +9i$, posso concludere direttamente che sono coprimi in quanto le loro norme (rispettivamente $194 = 2\cdot97$ e $165 = 5 \cdot 41$) sono coprime e quindi i due interi gaussiani non possono avere fattori comuni?

[angus89]

Certo che puoi concluderlo...se le norme sono coprime allora sono comprimi anche i numeri, potresti anche dimostrarlo senza troppa fatica.
Se vuoi posto la dimostrazione.

[Gatto891]

Si la dimostrazione l'avevo fatta, è che questa parte la stavo iniziando ora e volevo essere sicuro di non imboccare una strada sbagliata
Grazie